\frac{d}{d x} \operatorname{coth}^{-1} x=\frac{1}{1-x^{2}},|x|>1

Passo 1

O problema pede para calcular a derivada de \operatorname{coth}^{-1}x em função de x. O conteúdo necessário envolve a definição inversa da função hiperbólica cotangente e as identidades
\frac{d}{dy}\coth y = -\csch^2y,
\csch^2y = \coth^2y - 1.

Passo 2

Defina
y = \operatorname{coth}^{-1}x,
o que implica
x = \coth y.
Agora diferenciamos ambos os lados em relação a y:
\frac{dx}{dy} = \frac{d}{dy}\bigl(\coth y\bigr) = -\csch^2y.

Passo 3

Use a identidade \csch^2y = \coth^2y - 1. Substituindo em \frac{dx}{dy}, obtemos
\frac{dx}{dy} = -\bigl(\coth^2y - 1\bigr).
Mas \coth y = x, logo
\frac{dx}{dy} = -(x^2 - 1) = 1 - x^2.

Passo 4

Para achar \frac{dy}{dx}, basta inverter \frac{dx}{dy}:
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\displaystyle\frac{dx}{dy}} = \frac{1}{1 - x^2}.
Como \operatorname{coth}^{-1}x está definida para \lvert x\rvert>1, a expressão final vale nesse domínio.

Resposta

\frac{d}{dx}\operatorname{coth}^{-1}x = \frac{1}{1 - x^2},\quad |x|>1.

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