A freezer compartment consists of a cubical cavity that is 2 m on a side. Assume the bottom to be perfectly insulated. What is the minimum thickness of styrofoam insulation (
) that must be applied to the top and side walls to ensure a heat load of less than 500 W , when the inner and outer surfaces are -10 and
?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dimensões do compartimento: lado do cubo
. - A base (fundo) é perfeitamente isolada (ou seja, sem fluxo de calor pelo fundo).
- Isolante: styrofoam com condutividade térmica
. - Temperaturas: superfície interna
e superfície externa . - Carga térmica máxima desejada:
. - Pedido: menor espessura
do isolamento aplicado no topo e nas quatro faces laterais que garante .
Informações relevantes extraídas: o topo e as quatro faces laterais transmitem calor (o fundo não), e a diferença de temperatura entre interior e exterior é
.
Passo 2
Calcular as áreas que vão transmitir calor.
- Área do topo:
. - Área de uma face lateral:
. - Quatro faces laterais:
. - Área total através da qual entra calor:
.
Passo 3
Apresentar a lei que vamos usar e explicar cada termo.
Em regime estacionário, transferência de calor por condução através de uma parede plana homogênea é dada por Fourier (forma integral simples):
onde
-
é a taxa de calor (W), -
é a condutividade térmica do material (W/m·K), -
é a área de transferência (m^2), -
e são temperaturas da face interna e externa (°C ou K; diferença é a mesma), -
é a espessura do isolante (m).
Observação didática e justificativa da hipótese: essa fórmula assume que o principal obstáculo térmico é a resistência de condução do isolante. Aqui vamos assumir contato perfeito entre superfície e isolante e negligenciar resistências convectivas na superfície interna/externa (padrão em exercícios introdutórios). Se as resistências convectivas fossem importantes, apareceriam termos adicionais e a espessura requerida seria ligeiramente diferente.
Passo 4
Isolar
na equação para achar a espessura necessária quando
.
Reescrevendo:
Calcular a diferença de temperatura (usar sinais corretamente):
Usamos o valor absoluto da diferença no módulo do fluxo, portanto
. Para a fórmula de magnitude do fluxo podemos usar
.
Passo 5
Substituir os números e calcular passo a passo.
Primeiro calcular o numerador:
Calcule em passos:
. Então
Agora calcular
:
Converter para centímetros para ficar mais intuitivo:
Passo 6
Interpretação final e dica prática.
- O valor
é o mínimo teórico de isolamento, sob as hipóteses feitas (controle por condução no isolante, contato perfeito, resistências convectivas desprezíveis). - Na prática costuma-se escolher uma espessura um pouco maior (arredondamento para cima) para permitir margem de segurança e imperfeições (por exemplo, usar
comercialmente).
Força aí — já está resolvido e dá para usar essa receita em outros problemas parecidos: calcule áreas, escreva a equação de condução, isole
e substitua números com calma.