A freezer compartment consists of a cubical cavity that is 2 m on a side. Assume the bottom to be perfectly insulated. What is the minimum thickness of styrofoam insulation ( k=0.030 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{K} ) that must be applied to the top and side walls to ensure a heat load of less than 500 W , when the inner and outer surfaces are -10 and 35^{\circ} \mathrm{C} ?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dimensões do compartimento: lado do cubo \,2\\ \text{m}.
  • A base (fundo) é perfeitamente isolada (ou seja, sem fluxo de calor pelo fundo).
  • Isolante: styrofoam com condutividade térmica \,k=0{,}030\\ \text{W}/\text{m}\cdot\text{K}.
  • Temperaturas: superfície interna \,T_i=-10^\circ\text{C} e superfície externa \,T_o=35^\circ\text{C}.
  • Carga térmica máxima desejada: \,Q_{\max}=500\\ \text{W}.
  • Pedido: menor espessura \,L do isolamento aplicado no topo e nas quatro faces laterais que garante Q<500\\ \text{W}.
Informações relevantes extraídas: o topo e as quatro faces laterais transmitem calor (o fundo não), e a diferença de temperatura entre interior e exterior é \,T_o-T_i.

Passo 2

Calcular as áreas que vão transmitir calor.
  • Área do topo: \,A_{\text{top}} = 2\\ \text{m}\times 2\\ \text{m} = 4\\ \text{m}^2.
  • Área de uma face lateral: \,A_{\text{side}} = 2\\ \text{m}\times 2\\ \text{m} = 4\\ \text{m}^2.
  • Quatro faces laterais: \,4\cdot A_{\text{side}} = 4\cdot 4 = 16\\ \text{m}^2.
  • Área total através da qual entra calor: \,A = A_{\text{top}} + 4A_{\text{side}} = 4 + 16 = 20\\ \text{m}^2.

Passo 3

Apresentar a lei que vamos usar e explicar cada termo.
Em regime estacionário, transferência de calor por condução através de uma parede plana homogênea é dada por Fourier (forma integral simples):
Q = \frac{k\,A\,(T_i - T_o)}{L},
onde
  • \,Q é a taxa de calor (W),
  • \,k é a condutividade térmica do material (W/m·K),
  • \,A é a área de transferência (m^2),
  • \,T_i e \,T_o são temperaturas da face interna e externa (°C ou K; diferença é a mesma),
  • \,L é a espessura do isolante (m).
Observação didática e justificativa da hipótese: essa fórmula assume que o principal obstáculo térmico é a resistência de condução do isolante. Aqui vamos assumir contato perfeito entre superfície e isolante e negligenciar resistências convectivas na superfície interna/externa (padrão em exercícios introdutórios). Se as resistências convectivas fossem importantes, apareceriam termos adicionais e a espessura requerida seria ligeiramente diferente.

Passo 4

Isolar \,L na equação para achar a espessura necessária quando Q = Q_{\max}.
Reescrevendo:
L = \frac{k\,A\,(T_i - T_o)}{Q}.
Calcular a diferença de temperatura (usar sinais corretamente):
\Delta T = T_i - T_o = (-10) - 35 = -45^\circ\text{C}.
Usamos o valor absoluto da diferença no módulo do fluxo, portanto |\Delta T|=45^\circ\text{C}. Para a fórmula de magnitude do fluxo podemos usar \Delta T = 45^\circ\text{C}.

Passo 5

Substituir os números e calcular passo a passo.
Primeiro calcular o numerador:
k\,A\,\Delta T = 0{,}030\cdot 20\cdot 45.
Calcule em passos: \;20\cdot 45 = 900. Então
0{,}030\cdot 900 = 27.
Agora calcular \,L:
L = \frac{27}{Q_{\max}} = \frac{27}{500} = 0{,}054\\ \text{m}.
Converter para centímetros para ficar mais intuitivo:
L = 0{,}054\\ \text{m} = 5{,}4\\ \text{cm}.

Passo 6

Interpretação final e dica prática.
  • O valor \,L=0{,}054\\ \text{m} é o mínimo teórico de isolamento, sob as hipóteses feitas (controle por condução no isolante, contato perfeito, resistências convectivas desprezíveis).
  • Na prática costuma-se escolher uma espessura um pouco maior (arredondamento para cima) para permitir margem de segurança e imperfeições (por exemplo, usar \,6\\ \text{cm} comercialmente).
Força aí — já está resolvido e dá para usar essa receita em outros problemas parecidos: calcule áreas, escreva a equação de condução, isole L e substitua números com calma.

Resposta

\,L_{\min}=0{,}054\\ \text{m}=5{,}4\\ \text{cm}

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