Em uma frente de galeria subterrânea foi executado um furo de sondagem horizontalizado, ao longo do eixo da galeria, com comprimento de \mathrm{L}=100,0 \mathrm{~m}. Esse furo interceptou 62 fraturas pertencentes a um mesmo conjunto planar de descontinuidades, aproximadamente paralelo entre si. Admita que, nessa condição inicial, o furo está perpendicular ao conjunto de fraturas, de modo que o espaçamento medido ao longo do furo corresponde ao espaçamento das fraturas no maciço.
a) Determine o espaçamento médio verdadeiro desse conjunto de fraturas.
b) Use a seguinte relação: \mathrm{S}_{\text {aparente }}=\mathrm{S}_{\text {verdadeiro }} / \cos (\Delta \theta) e calcule o espaçamento médio aparente observado nas direções de 60^{\circ}, 90^{\circ} e 270^{\circ}.
c) Com base no resultado da questão anterior, determine a direção com a melhor condição geomecânica para a abertura de uma nova galeria

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede as coisas abaixo:
  • Dados fornecidos:
    • Comprimento do furo: \mathrm{L}=100{,}0\\ \mathrm{m}.
    • Número de fraturas interceptadas pelo furo: 62.
    • O furo inicial está perpendicular ao conjunto de fraturas, então o espaçamento medido ao longo do furo é o espaçamento verdadeiro no maciço.
    • Relação a ser usada para aparente/verdadeiro: \mathrm{S}_{\text{aparente}} = \dfrac{\mathrm{S}_{\text{verdadeiro}}}{\cos(\Delta\theta)}.
  • Perguntas:
    a) Determinar o espaçamento médio verdadeiro do conjunto de fraturas.
    b) Calcular o espaçamento médio aparente observado nas direções 60^\circ, 90^\circ e 270^\circ usando a relação dada.
    c) Com base nos resultados de (b), indicar a direção com melhor condição geomecânica para abertura de uma nova galeria (ou seja, a direção onde o espaçamento aparente é maior, pois isso indica menos fraturas por unidade de comprimento).

Passo 2

Explicação didática de como obter o espaçamento médio verdadeiro (parte a).
  • Conceito: se as fraturas são aproximadamente paralelas e espaçadas de forma regular, e uma linha de comprimento L cruza esse conjunto, o número médio de interseções N que essa linha fará é aproximadamente N \approx \dfrac{L}{S_{\text{verdadeiro}}}. Isso vem da ideia simples: se cada intervalo entre fraturas tem comprimento S_{\text{verdadeiro}}, ao percorrer L você encontra cerca de L/S_{\text{verdadeiro}} intervalos (ou interseções).
  • Reorganizando, obtemos a fórmula prática para estimar o espaçamento médio verdadeiro a partir do número de interseções medidas: \mathrm{S}_{\text{verdadeiro}} = \dfrac{L}{N},onde:
    • \mathrm{S}_{\text{verdadeiro}} é o espaçamento médio entre fraturas (m),
    • L é o comprimento do furo (m),
    • N é o número de fraturas interceptadas pela linha (adimensional).

Passo 3

Cálculo numérico do espaçamento verdadeiro usando a fórmula.
  • Substituindo L=100{,}0\\ \mathrm{m} e N=62: \mathrm{S}_{\text{verdadeiro}} = \dfrac{100{,}0}{62}.
  • Fazendo a divisão: \mathrm{S}_{\text{verdadeiro}} \approx 1{,}6129032258\\ \mathrm{m}.
  • Para trabalhar com números práticos na prova, arredondamos comumente para três casas decimais: \mathrm{S}_{\text{verdadeiro}} \approx 1{,}613\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Entendimento e dedução da fórmula da aparente (parte b) — por que \mathrm{S}_{\text{aparente}} = \mathrm{S}_{\text{verdadeiro}}/\cos(\Delta\theta).
  • Geometria e significado de \Delta\theta:
    • Imagine as fraturas como linhas paralelas (num corte transversal) separadas por \mathrm{S}_{\text{verdadeiro}} na direção perpendicular ao conjunto.
    • Se você traça uma linha de sondagem que forma um ângulo \Delta\theta em relação à direção perpendicular às fraturas, essa linha “atravessa” mais distância entre fraturas projetada sobre ela. A distância ao longo da sua linha entre duas fraturas sucessivas será maior que \mathrm{S}_{\text{verdadeiro}}.
    • A relação trigonométrica entre a distância verdadeira (perpendicular) e a distância projetada sobre a linha inclinada é divisão por \cos(\Delta\theta).
  • Observação sobre sinal: \cos(\Delta\theta) pode ser negativo se \Delta\theta for maior que 90^\circ; como estamos falando de distâncias positivas, usamos o valor absoluto do cosseno na prática (ou consideramos que \Delta\theta é o menor ângulo entre as direções, de 0^\circ a 180^\circ, e tomamos |\cos(\Delta\theta)|). Aqui vou usar |\cos(\Delta\theta)| quando necessário para garantir resultado positivo.
  • Fórmula que vamos aplicar: \mathrm{S}_{\text{aparente}}(\theta) \;=\; \dfrac{\mathrm{S}_{\text{verdadeiro}}}{\bigl|\cos(\Delta\theta)\bigr|},onde \Delta\theta é o ângulo entre a direção de medição \theta e a direção perpendicular original (no nosso caso, a direção do furo que deu a medida verdadeira).

Passo 5

Aplicação da fórmula para as direções pedidas (cálculos passo a passo).
  • Primeiro, fixamos a referência: o furo original (que deu o espaçamento verdadeiro) está perpendicular ao conjunto; chamamos essa direção de 90^\circ (isso é uma escolha de referência consistente com as direções pedidas). Assim:
    • Para uma direção \theta, \Delta\theta = |\theta - 90^\circ| (pegamos o menor deslocamento angular em relação à perpendicular).
  • Valores já calculados: \mathrm{S}_{\text{verdadeiro}} \approx 1{,}6129032258\\ \mathrm{m}.
Agora cada direção:
  1. Direção \theta = 60^\circ:
  • \Delta\theta = |60^\circ - 90^\circ| = 30^\circ.
  • \cos(30^\circ) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}8660254038.
  • \mathrm{S}_{\text{aparente}}(60^\circ) = \dfrac{1{,}6129032258}{0{,}8660254038} \approx 1{,}862976\\ \mathrm{m}.
  • Arredondando: \mathrm{S}_{\text{aparente}}(60^\circ) \approx 1{,}863\\ \mathrm{m}.
  1. Direção \theta = 90^\circ:
  • \Delta\theta = |90^\circ - 90^\circ| = 0^\circ.
  • \cos(0^\circ) = 1.
  • \mathrm{S}_{\text{aparente}}(90^\circ) = \dfrac{1{,}6129032258}{1} = 1{,}6129032258\\ \mathrm{m}.
  • Arredondando: \mathrm{S}_{\text{aparente}}(90^\circ) \approx 1{,}613\\ \mathrm{m}.
  1. Direção \theta = 270^\circ:
  • \Delta\theta = |270^\circ - 90^\circ| = 180^\circ.
  • \cos(180^\circ) = -1, mas para distância usamos valor absoluto: |\cos(180^\circ)| = 1.
  • \mathrm{S}_{\text{aparente}}(270^\circ) = \dfrac{1{,}6129032258}{1} = 1{,}6129032258\\ \mathrm{m}.
  • Arredondando: \mathrm{S}_{\text{aparente}}(270^\circ) \approx 1{,}613\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Interpretação geomecânica e escolha da melhor direção para abertura da galeria (parte c).
  • Raciocínio prático: quanto maior o espaçamento aparente, menor a frequência de fraturas ao longo da direção considerada — em geral isso significa bloco rochoso mais intacto entre fraturas e, portanto, melhores condições geomecânicas para escavar/abrir uma galeria (menos descontinuidade, maior estabilidade).
  • Comparando os valores:
    • \mathrm{S}_{\text{aparente}}(60^\circ) \approx 1{,}863\\ \mathrm{m} (maior).
    • \mathrm{S}_{\text{aparente}}(90^\circ) \approx 1{,}613\\ \mathrm{m}.
    • \mathrm{S}_{\text{aparente}}(270^\circ) \approx 1{,}613\\ \mathrm{m}.
  • Conclusão: a direção com melhor condição geomecânica, entre as opções dadas, é \;60^\circ, porque apresenta o maior espaçamento aparente (menos fraturas por unidade de comprimento nessa direção).

Resposta

a) \mathrm{S}_{\text{verdadeiro}} = \dfrac{100{,}0}{62} \approx 1{,}6129032258\\ \mathrm{m} \approx 1{,}613\\ \mathrm{m}
b) \mathrm{S}_{\text{aparente}}(60^\circ)\approx 1{,}863\\ \mathrm{m}
\mathrm{S}_{\text{aparente}}(90^\circ)\approx 1{,}613\\ \mathrm{m}
\mathrm{S}_{\text{aparente}}(270^\circ)\approx 1{,}613\\ \mathrm{m}
c) Melhor direção para abertura da galeria: 60^\circ

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