Em uma frente de galeria subterrânea foi executado um furo de sondagem horizontalizado, ao longo do eixo da galeria, com comprimento de \mathrm{L}=100,0 \mathrm{~m}. Esse furo interceptou 62 fraturas pertencentes a um mesmo conjunto planar de descontinuidades, aproximadamente paralelo entre si. Admita que, nessa condição inicial, o furo está perpendicular ao conjunto de fraturas, de modo que o espaçamento medido ao longo do furo corresponde ao espaçamento das fraturas no maciço.
a) Determine o espaçamento médio verdadeiro desse conjunto de fraturas.
b) Use a seguinte relação: \mathrm{S}_{\text {aparente }}=\mathrm{S}_{\text {verdadeiro }} / \cos (\Delta \theta) e calcule o espaçamento médio aparente observado nas direções de 60^{\circ}, 90^{\circ} e 270^{\circ}.
c) Com base no resultado da questão anterior, determine a direção com a melhor condição geomecânica para a abertura de uma nova galeria
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede as coisas abaixo:
Dados fornecidos:
Comprimento do furo: \mathrm{L}=100{,}0\\ \mathrm{m}.
Número de fraturas interceptadas pelo furo: 62.
O furo inicial está perpendicular ao conjunto de fraturas, então o espaçamento medido ao longo do furo é o espaçamento verdadeiro no maciço.
Relação a ser usada para aparente/verdadeiro: \mathrm{S}_{\text{aparente}} = \dfrac{\mathrm{S}_{\text{verdadeiro}}}{\cos(\Delta\theta)}.
Perguntas:
a) Determinar o espaçamento médio verdadeiro do conjunto de fraturas.
b) Calcular o espaçamento médio aparente observado nas direções 60^\circ, 90^\circ e 270^\circ usando a relação dada.
c) Com base nos resultados de (b), indicar a direção com melhor condição geomecânica para abertura de uma nova galeria (ou seja, a direção onde o espaçamento aparente é maior, pois isso indica menos fraturas por unidade de comprimento).
Passo 2
Explicação didática de como obter o espaçamento médio verdadeiro (parte a).
Conceito: se as fraturas são aproximadamente paralelas e espaçadas de forma regular, e uma linha de comprimento L cruza esse conjunto, o número médio de interseções N que essa linha fará é aproximadamente N \approx \dfrac{L}{S_{\text{verdadeiro}}}. Isso vem da ideia simples: se cada intervalo entre fraturas tem comprimento S_{\text{verdadeiro}}, ao percorrer L você encontra cerca de L/S_{\text{verdadeiro}} intervalos (ou interseções).
Reorganizando, obtemos a fórmula prática para estimar o espaçamento médio verdadeiro a partir do número de interseções medidas:\mathrm{S}_{\text{verdadeiro}} = \dfrac{L}{N},onde:
\mathrm{S}_{\text{verdadeiro}} é o espaçamento médio entre fraturas (m),
L é o comprimento do furo (m),
N é o número de fraturas interceptadas pela linha (adimensional).
Passo 3
Cálculo numérico do espaçamento verdadeiro usando a fórmula.
Substituindo L=100{,}0\\ \mathrm{m} e N=62:\mathrm{S}_{\text{verdadeiro}} = \dfrac{100{,}0}{62}.
Fazendo a divisão:\mathrm{S}_{\text{verdadeiro}} \approx 1{,}6129032258\\ \mathrm{m}.
Para trabalhar com números práticos na prova, arredondamos comumente para três casas decimais:\mathrm{S}_{\text{verdadeiro}} \approx 1{,}613\\ \mathrm{m}.
Passo 4
Entendimento e dedução da fórmula da aparente (parte b) — por que \mathrm{S}_{\text{aparente}} = \mathrm{S}_{\text{verdadeiro}}/\cos(\Delta\theta).
Geometria e significado de \Delta\theta:
Imagine as fraturas como linhas paralelas (num corte transversal) separadas por \mathrm{S}_{\text{verdadeiro}} na direção perpendicular ao conjunto.
Se você traça uma linha de sondagem que forma um ângulo \Delta\theta em relação à direção perpendicular às fraturas, essa linha “atravessa” mais distância entre fraturas projetada sobre ela. A distância ao longo da sua linha entre duas fraturas sucessivas será maior que \mathrm{S}_{\text{verdadeiro}}.
A relação trigonométrica entre a distância verdadeira (perpendicular) e a distância projetada sobre a linha inclinada é divisão por \cos(\Delta\theta).
Observação sobre sinal: \cos(\Delta\theta) pode ser negativo se \Delta\theta for maior que 90^\circ; como estamos falando de distâncias positivas, usamos o valor absoluto do cosseno na prática (ou consideramos que \Delta\theta é o menor ângulo entre as direções, de 0^\circ a 180^\circ, e tomamos |\cos(\Delta\theta)|). Aqui vou usar |\cos(\Delta\theta)| quando necessário para garantir resultado positivo.
Fórmula que vamos aplicar:\mathrm{S}_{\text{aparente}}(\theta) \;=\; \dfrac{\mathrm{S}_{\text{verdadeiro}}}{\bigl|\cos(\Delta\theta)\bigr|},onde \Delta\theta é o ângulo entre a direção de medição \theta e a direção perpendicular original (no nosso caso, a direção do furo que deu a medida verdadeira).
Passo 5
Aplicação da fórmula para as direções pedidas (cálculos passo a passo).
Primeiro, fixamos a referência: o furo original (que deu o espaçamento verdadeiro) está perpendicular ao conjunto; chamamos essa direção de 90^\circ (isso é uma escolha de referência consistente com as direções pedidas). Assim:
Para uma direção \theta, \Delta\theta = |\theta - 90^\circ| (pegamos o menor deslocamento angular em relação à perpendicular).
Valores já calculados:\mathrm{S}_{\text{verdadeiro}} \approx 1{,}6129032258\\ \mathrm{m}.
Interpretação geomecânica e escolha da melhor direção para abertura da galeria (parte c).
Raciocínio prático: quanto maior o espaçamento aparente, menor a frequência de fraturas ao longo da direção considerada — em geral isso significa bloco rochoso mais intacto entre fraturas e, portanto, melhores condições geomecânicas para escavar/abrir uma galeria (menos descontinuidade, maior estabilidade).
Conclusão: a direção com melhor condição geomecânica, entre as opções dadas, é \;60^\circ, porque apresenta o maior espaçamento aparente (menos fraturas por unidade de comprimento nessa direção).
Resposta
a) \mathrm{S}_{\text{verdadeiro}} = \dfrac{100{,}0}{62} \approx 1{,}6129032258\\ \mathrm{m} \approx 1{,}613\\ \mathrm{m}
b) \mathrm{S}_{\text{aparente}}(60^\circ)\approx 1{,}863\\ \mathrm{m} \mathrm{S}_{\text{aparente}}(90^\circ)\approx 1{,}613\\ \mathrm{m} \mathrm{S}_{\text{aparente}}(270^\circ)\approx 1{,}613\\ \mathrm{m}
c) Melhor direção para abertura da galeria: 60^\circ