( 2 pontos) Uma partícula de massa
cai verticalmente sob a influência de um arrasto proporcional ao quadrado da velocidade. Ache a velocidade terminal e a velocidade como uma função do tempo.
Passo 1
O enunciado apresenta uma partícula de massa
caindo verticalmente sob a ação da gravidade e de um arrasto proporcional ao quadrado da velocidade, solicitando (1) a velocidade terminal e (2) a velocidade como função do tempo. As informações relevantes são a massa
e a força de arrasto
. A condição inicial não é explicitada, então será obtida a solução geral e, posteriormente, a solução particular para a condição de repouso inicial
.
Passo 2
Adota-se o sentido positivo para baixo, alinhando-o com a direção da gravidade. Define-se a constante de proporcionalidade do arrasto como
, resultando em uma força de arrasto com magnitude
que atua para cima, opondo-se ao movimento. No eixo escolhido, a força de arrasto é
. As forças na direção vertical são: força peso
(para baixo) e arrasto
(para cima).
Utiliza-se a 2ª lei de Newton, onde massa vezes aceleração é igual à soma das forças. A aceleração é expressa como
. Assim:
Aqui,
representa a velocidade para baixo no instante
,
é a aceleração da gravidade e
é a constante do arrasto. Esta é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem, separável.
Passo 3
A velocidade terminal
é definida como o valor de
quando a aceleração se anula (
). Portanto, impõe-se
e resolve-se para
:
Considerando a direção para baixo como positiva e a partícula em queda, escolhe-se a raiz positiva. Assim,
.
Passo 4
Retornando à EDO, simplifica-se utilizando
. Divide-se a equação por
:
Como
(pois
), a equação se torna
Esta forma facilita a separação das variáveis.
Passo 5
As variáveis são separadas, agrupando os termos com
de um lado e
do outro:
Para integrar, reconhece-se que a primitiva à esquerda envolve a função inversa hiperbólica. Integra-se ambos os lados de
até
e de
até
. A integral indefinida relevante é
(válida para
).
Passo 6
Realiza-se a substituição
. A equação integrada se transforma em
onde
é a constante de integração, dependente da condição inicial. Aplica-se a função hiperbólica tangente para isolar
:
A solução geral é, portanto,
com
e
para ajustar a condição inicial
.
Passo 7
Para obter a solução particular com a condição inicial de repouso
, substitui-se
e
na fórmula do Passo 7:
A solução simplificada é:
Substituindo
pode-se escrever também
pois
. Esta função apresenta um comportamento físico correto:
e, quando
, temos
, resultando em
.
Passo 8
Observações didáticas: o tempo característico para atingir a velocidade terminal é
. Para tempos
, a expansão
resulta em
, indicando que no início a queda é quase livre (arrasto pequeno). Para
, o arrasto limita a velocidade até
.