( 2 pontos) Uma partícula de massa m cai verticalmente sob a influência de um arrasto proporcional ao quadrado da velocidade. Ache a velocidade terminal e a velocidade como uma função do tempo.

Passo 1

O enunciado apresenta uma partícula de massa m caindo verticalmente sob a ação da gravidade e de um arrasto proporcional ao quadrado da velocidade, solicitando (1) a velocidade terminal e (2) a velocidade como função do tempo. As informações relevantes são a massa m e a força de arrasto F_{\text{arrasto}}\propto v^{2}. A condição inicial não é explicitada, então será obtida a solução geral e, posteriormente, a solução particular para a condição de repouso inicial v(0)=0.

Passo 2

Adota-se o sentido positivo para baixo, alinhando-o com a direção da gravidade. Define-se a constante de proporcionalidade do arrasto como k>0, resultando em uma força de arrasto com magnitude k v^{2} que atua para cima, opondo-se ao movimento. No eixo escolhido, a força de arrasto é -k v^{2}. As forças na direção vertical são: força peso +mg (para baixo) e arrasto -k v^{2} (para cima).
Utiliza-se a 2ª lei de Newton, onde massa vezes aceleração é igual à soma das forças. A aceleração é expressa como \dfrac{dv}{dt}. Assim:
m\frac{dv}{dt} = mg - k v^{2}.
Aqui, v(t) representa a velocidade para baixo no instante t, g é a aceleração da gravidade e k é a constante do arrasto. Esta é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem, separável.

Passo 3

A velocidade terminal \,v_{\text{t}} é definida como o valor de v quando a aceleração se anula ( \dfrac{dv}{dt}=0). Portanto, impõe-se 0 = mg - k v_{\text{t}}^{2} e resolve-se para v_{\text{t}}:
k v_{\text{t}}^{2} = mg \quad\Rightarrow\quad v_{\text{t}} = \sqrt{\frac{mg}{k}}.
Considerando a direção para baixo como positiva e a partícula em queda, escolhe-se a raiz positiva. Assim, \,v_{\text{t}}=\sqrt{mg/k}.

Passo 4

Retornando à EDO, simplifica-se utilizando v_{\text{t}}. Divide-se a equação por m:
\frac{dv}{dt} = g - \frac{k}{m}v^{2}.
Como \dfrac{k}{m} = \dfrac{g}{v_{\text{t}}^{2}} (pois v_{\text{t}}^{2}=mg/k\Rightarrow k/m = g/v_{\text{t}}^{2}), a equação se torna
\frac{dv}{dt} = g\!\left(1 - \frac{v^{2}}{v_{\text{t}}^{2}}\right).
Esta forma facilita a separação das variáveis.

Passo 5

As variáveis são separadas, agrupando os termos com v de um lado e t do outro:
\frac{dv}{1 - \dfrac{v^{2}}{v_{\text{t}}^{2}}} = g\,dt.
Para integrar, reconhece-se que a primitiva à esquerda envolve a função inversa hiperbólica. Integra-se ambos os lados de t=0 até t e de v=v(0) até v=v(t). A integral indefinida relevante é \displaystyle\int \frac{du}{1-u^{2}} = \operatorname{arctanh}(u) (válida para |u|<1).

Passo 6

Realiza-se a substituição u=\dfrac{v}{v_{\text{t}}}. A equação integrada se transforma em
\operatorname{arctanh}\!\left(\frac{v}{v_{\text{t}}}\right) = \frac{g}{v_{\text{t}}}\,t + C,
onde C é a constante de integração, dependente da condição inicial. Aplica-se a função hiperbólica tangente para isolar v:
\frac{v}{v_{\text{t}}} = \operatorname{tanh}\!\left(\frac{g}{v_{\text{t}}}\,t + C\right).
A solução geral é, portanto,
v(t) = v_{\text{t}}\;\operatorname{tanh}\!\left(\frac{g}{v_{\text{t}}}\,t + C\right),
com v_{\text{t}}=\sqrt{\dfrac{mg}{k}} e C=\operatorname{arctanh}\!\big(\dfrac{v(0)}{v_{\text{t}}}\big) para ajustar a condição inicial v(0).

Passo 7

Para obter a solução particular com a condição inicial de repouso v(0)=0, substitui-se t=0 e v=0 na fórmula do Passo 7:
0 = v_{\text{t}}\;\operatorname{tanh}\text{(C)}\quad\Rightarrow\quad C=0.
A solução simplificada é:
v(t) = v_{\text{t}}\;\operatorname{tanh}\!\left(\frac{g}{v_{\text{t}}}\,t\right).
Substituindo v_{\text{t}}=\sqrt{\dfrac{mg}{k}} pode-se escrever também
v(t) = \sqrt{\frac{mg}{k}}\;\operatorname{tanh}\!\left(\sqrt{\frac{gk}{m}}\,t\right),
pois \dfrac{g}{v_{\text{t}}}= \sqrt{\dfrac{gk}{m}}. Esta função apresenta um comportamento físico correto: v(0)=0 e, quando t\to\infty, temos \operatorname{tanh}(\cdot)\to 1, resultando em v(t)\to v_{\text{t}}.

Passo 8

Observações didáticas: o tempo característico para atingir a velocidade terminal é \tau=\dfrac{v_{\text{t}}}{g}=\sqrt{\dfrac{m}{gk}}. Para tempos t\ll\tau, a expansão \operatorname{tanh} x\approx x resulta em v(t)\approx g t, indicando que no início a queda é quase livre (arrasto pequeno). Para t\gtrsim\tau, o arrasto limita a velocidade até \,v_{\text{t}}.

Resposta

v_{\text{t}}=\sqrt{\dfrac{mg}{k}}\n
v(t)=\sqrt{\dfrac{mg}{k}}\;\operatorname{tanh}\!\left(\sqrt{\dfrac{gk}{m}}\,t\right) (para v(0)=0).

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