1/6 From the gravitational law calculate the weight W (gravitational force with respect to the earth) of a 90-\mathrm{kg} man in a spacecraft traveling in a circular orbit 250 km above the earth’s surface. Express W in both newtons and pounds.

Passo 1

O que o problema pede e o que foi dado.
  • Pede-se o peso W (força gravitacional exercida pela Terra) de um homem de massa 90\\ \mathrm{kg} quando o mesmo está em órbita circular a 250\\ \mathrm{km} acima da superfície da Terra. Quer-se a resposta em newtons e em pounds (lbf).
  • Dados que serão usados (valores padrão que vou adotar; são os que normalmente aparecem em exercícios):
    • massa do homem: m=90\\ \mathrm{kg}.
    • altitude da órbita acima da superfície: h=250\\ \mathrm{km}=2{,}50\times10^{5}\\ \mathrm{m}.
    • massa da Terra: M=5{,}97\times10^{24}\\ \mathrm{kg}.
    • raio médio da Terra: R=6{,}371\times10^{6}\\ \mathrm{m}.
    • constante gravitacional: G=6{,}67\times10^{-11}\\ \mathrm{N\,m^{2}/kg^{2}}.
    • fator de conversão: 1\\ \mathrm{lbf}=4{,}44822\\ \mathrm{N}.
  • Resumo do pedido:
    1. Calcular W em newtons usando a lei da gravitação universal.
    2. Converter esse W para pounds (lbf).

Passo 2

Princípio físico e fórmula a usar (explicação didática).
A lei da gravitação universal de Newton diz que a força gravitacional entre duas massas M e m separadas por uma distância entre centros r é
F=\frac{G\,M\,m}{r^{2}}.
No caso do peso de um corpo próximo à Terra a distância r é a distância do centro da Terra até o corpo; para um corpo a uma altitude h acima da superfície temos
r=R+h.
Aqui chamamos o peso W do homem justamente dessa força gravitacional, ou seja
W=\frac{G\,M\,m}{r^{2}}.
Vamos aplicar essa fórmula com os números dados. A ideia: quanto mais longe do centro da Terra (maior r), menor será W, porque a força diminui com 1/r^{2}.

Passo 3

Calcular a distância entre centros r.
Somar o raio da Terra com a altitude:
r=R+h=6{,}371\times10^{6}\\ \mathrm{m}+2{,}50\times10^{5}\\ \mathrm{m}=6{,}621\times10^{6}\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Calcular r^{2} (mostrando como manipular potências).
Vamos elevar r ao quadrado:
r^{2}=(6{,}621\times10^{6}\\ \mathrm{m})^{2}=6{,}621^{2}\times10^{12}\\ \mathrm{m^{2}}\approx4{,}3838\times10^{13}\\ \mathrm{m^{2}}.
(Para uma prova sem calculadora pode-se fazer o raciocínio com fatores: 6{,}621^{2} dá aproximadamente 43{,}84 e então multiplicar por 10^{12}.)

Passo 5

Calcular o produto G\,M (e interpretar).
Calculemos G\,M:
G\,M=(6{,}67\times10^{-11})(5{,}97\times10^{24})\approx3{,}986\times10^{14}\\ \mathrm{m^{3}/s^{2}}.
Esse valor G\,M é frequentemente encontrado em tabelas (às vezes escrito \mu=GM) e tem unidade \mathrm{m^{3}/s^{2}}. Usar GM economiza um passo no cálculo.

Passo 6

Calcular a aceleração gravitacional na órbita e depois o peso W.
A aceleração gravitacional na distância r é
g(r)=\frac{G\,M}{r^{2}}.
Substituindo os valores calculados:
g(r)\approx\frac{3{,}986\times10^{14}}{4{,}3838\times10^{13}}\\ \mathrm{m/s^{2}}\approx9{,}09\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Agora o peso do homem é
W=m\,g(r)=90\\ \mathrm{kg}\times9{,}09\\ \mathrm{m/s^{2}}\approx8{,}18\times10^{2}\\ \mathrm{N}.
(Interpretação rápida para a prova: o valor é um pouco menor do que o peso na superfície, porque na superfície g\approx9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}. Aqui o fator é (R/(R+h))^{2}, que dá uma redução pequena para h=250\\ \mathrm{km}.)

Passo 7

Converter o resultado para pounds (lbf).
Usando 1\\ \mathrm{lbf}=4{,}44822\\ \mathrm{N}, converte-se:
W_{\mathrm{lbf}}=\frac{W}{4{,}44822}\approx\frac{8{,}18\times10^{2}}{4{,}44822}\approx1{,}84\times10^{2}\\ \mathrm{lbf}.
Ou seja, aproximadamente 184\\ \mathrm{lbf}.

Resposta

W\approx8{,}18\times10^{2}\\ \mathrm{N}
W\approx1{,}84\times10^{2}\\ \mathrm{lbf}