1/6 From the gravitational law calculate the weight
(gravitational force with respect to the earth) of a
man in a spacecraft traveling in a circular orbit 250 km above the earth’s surface. Express
in both newtons and pounds.
Passo 1
O que o problema pede e o que foi dado.
- Pede-se o peso
(força gravitacional exercida pela Terra) de um homem de massa quando o mesmo está em órbita circular a acima da superfície da Terra. Quer-se a resposta em newtons e em pounds (lbf). - Dados que serão usados (valores padrão que vou adotar; são os que normalmente aparecem em exercícios):
- massa do homem:
. - altitude da órbita acima da superfície:
. - massa da Terra:
. - raio médio da Terra:
. - constante gravitacional:
. - fator de conversão:
.
- massa do homem:
- Resumo do pedido:
- Calcular
em newtons usando a lei da gravitação universal. - Converter esse
para pounds (lbf).
- Calcular
Passo 2
Princípio físico e fórmula a usar (explicação didática).
A lei da gravitação universal de Newton diz que a força gravitacional entre duas massas
e
separadas por uma distância entre centros
é
No caso do peso de um corpo próximo à Terra a distância
é a distância do centro da Terra até o corpo; para um corpo a uma altitude
acima da superfície temos
Aqui chamamos o peso
do homem justamente dessa força gravitacional, ou seja
Vamos aplicar essa fórmula com os números dados. A ideia: quanto mais longe do centro da Terra (maior
), menor será
, porque a força diminui com
.
Passo 3
Calcular a distância entre centros
.
Somar o raio da Terra com a altitude:
Passo 4
Calcular
(mostrando como manipular potências).
Vamos elevar
ao quadrado:
(Para uma prova sem calculadora pode-se fazer o raciocínio com fatores:
dá aproximadamente
e então multiplicar por
.)
Passo 5
Calcular o produto
(e interpretar).
Calculemos
:
Esse valor
é frequentemente encontrado em tabelas (às vezes escrito
) e tem unidade
. Usar
economiza um passo no cálculo.
Passo 6
Calcular a aceleração gravitacional na órbita e depois o peso
.
A aceleração gravitacional na distância
é
Substituindo os valores calculados:
Agora o peso do homem é
(Interpretação rápida para a prova: o valor é um pouco menor do que o peso na superfície, porque na superfície
. Aqui o fator é
, que dá uma redução pequena para
.)
Passo 7
Converter o resultado para pounds (lbf).
Usando
, converte-se:
Ou seja, aproximadamente
.