Para a função
, use a expansão para
obtida em (a) para calcular
e
. Aqui,
denota a derivada de
-ésima ordem de
. Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a 12ª e a 13ª derivada da função
avaliadas em
. Para isso, vamos usar a expansão em série da função que provavelmente foi feita na parte (a) do exercício. Vamos precisar entender um pouquinho sobre séries de Taylor e como relacionar os termos dessa série com as derivadas da função.
Passo 2
Primeiro, lembra da série de Taylor? É uma maneira de expressar uma função como uma soma infinita de termos baseados nas derivadas da função. Para uma função
expandida em torno de
, fica assim:
Aqui,
representa a
-ésima derivada de
avaliada em
.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a função dada:
Essa função é parecida com uma série geométrica, que tem a forma
quando
. Se rearranjarmos
, temos:
Então, a expansão em série de Taylor de
é:
Passo 4
Comparando com a fórmula geral da série de Taylor:
Podemos ver que os únicos termos que aparecem na série de
são aqueles onde a potência de
é múltiplo de 4, ou seja,
. Isso significa que as derivações de ordens que não são múltiplos de 4 vão resultar em coeficientes zero.
Passo 5
Vamos calcular
. Como 12 é múltiplo de 4 (
), há um termo correspondente na série:
Resolvendo para
:
Passo 6
Agora, para
. Como 13 não é múltiplo de 4, não existe um termo
na série de
. Isso significa que:
Portanto,