Para a função f(x) = 1/(1+x^4), use a expansão para f obtida em (a) para calcular f^(12)(0) e f^(13)(0). Aqui, f^(n) denota a derivada de n-ésima ordem de f. Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a 12ª e a 13ª derivada da função avaliadas em . Para isso, vamos usar a expansão em série da função que provavelmente foi feita na parte (a) do exercício. Vamos precisar entender um pouquinho sobre séries de Taylor e como relacionar os termos dessa série com as derivadas da função.

Passo 2

Primeiro, lembra da série de Taylor? É uma maneira de expressar uma função como uma soma infinita de termos baseados nas derivadas da função. Para uma função expandida em torno de , fica assim:
Aqui, representa a -ésima derivada de avaliada em .

Passo 3

Agora, vamos olhar para a função dada:
Essa função é parecida com uma série geométrica, que tem a forma quando . Se rearranjarmos , temos:
Então, a expansão em série de Taylor de é:

Passo 4

Comparando com a fórmula geral da série de Taylor:
Podemos ver que os únicos termos que aparecem na série de são aqueles onde a potência de é múltiplo de 4, ou seja, . Isso significa que as derivações de ordens que não são múltiplos de 4 vão resultar em coeficientes zero.

Passo 5

Vamos calcular . Como 12 é múltiplo de 4 ( ), há um termo correspondente na série:
Resolvendo para :

Passo 6

Agora, para . Como 13 não é múltiplo de 4, não existe um termo na série de . Isso significa que:
Portanto,

Resposta

e .

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