1. Na função:
S=5+2 t+t^{2}
a) Existe termo com \mathrm{t}^{2} ?
b) É função do 1^{\circ} ou 2^{\circ} grau?
c) É MRU ou MRUV?
d) Existe aceleração?
e) Qual vai ser o espaço final depois de 2 segundos?
f) Quanto tempo irá para demorar para atingir 105

Passo 1

O enunciado fornece a função posição
S = 5 + 2\,t + t^{2}
e faz as perguntas:
(a) Existe termo com \mathrm{t}^{2}?
(b) É função do 1^{\circ} ou 2^{\circ} grau?
(c) É MRU ou MRUV?
(d) Existe aceleração?
(e) Qual vai ser o espaço final depois de 2 segundos?
(f) Quanto tempo irá demorar para atingir 105?

Passo 2

Entender o que é "termo com \mathrm{t}^{2}". Numa expressão polinomial em t, um "termo com \mathrm{t}^{2}" é qualquer parcela que contenha t^{2}, por exemplo a\,t^{2} com a\neq0. Na expressão dada:
S = 5 + 2\,t + t^{2},
o termo com \mathrm{t}^{2} é exatamente t^{2}. O coeficiente desse termo é 1 (pois t^{2}=1\cdot t^{2}). Portanto, a resposta à (a) é: sim, existe termo com \mathrm{t}^{2}.

Passo 3

Determinar o grau da função. O grau de um polinômio em t é a maior potência de t que aparece com coeficiente diferente de zero. Aqui a maior potência é 2 (aparece t^{2}), logo a função é de segundo grau. Para comparar com formas padrão:
  • Função do 1^{\circ} grau (linear) tem a forma \,S(t)=A+Bt (sem t^{2}).
  • Função do 2^{\circ} grau (quadrática) tem a forma \,S(t)=C+Dt+E t^{2}.
    A nossa entra na segunda forma com C=5, D=2, E=1. Assim, resposta à (b): é função do 2^{\circ} grau.

Passo 4

Decidir entre MRU e MRUV e explicar como identificar:
  • MRU (movimento retilíneo uniforme) corresponde a velocidade constante, logo posição varia linearmente com o tempo: \,S(t)=S_0+v\,t (sem termo em t^{2}).
  • MRUV (movimento retilíneo uniformemente variado) corresponde a aceleração constante a\neq0, e a posição tem termo quadrático: \,S(t)=S_0+v_0 t+\tfrac{1}{2}a t^{2}.
Comparando a forma dada \,S=5+2t+t^{2} com \,S_0+v_0 t+\tfrac{1}{2}a t^{2}, vê-se que há termo em t^{2}, portanto a velocidade não é constante e há aceleração constante. Logo é MRUV. Isso responde (c).

Passo 5

Calcular velocidade e aceleração a partir da posição (a explicação passo a passo das derivadas de funções polinomiais):
  • Regra: a derivada de t^{n} em relação a t é n\,t^{n-1}.
    Aplicando isso para obter a velocidade instantânea v(t) (derivada de S(t)):
v(t)=\frac{dS}{dt}=\frac{d}{dt}\big(5\big)+\frac{d}{dt}\big(2t\big)+\frac{d}{dt}\big(t^{2}\big).
Calcule cada derivada:
\frac{d}{dt}(5)=0,\qquad \frac{d}{dt}(2t)=2,\qquad \frac{d}{dt}(t^{2})=2t.
Somando:
v(t)=2+2t.
  • A aceleração a(t) é a derivada da velocidade:
a(t)=\frac{dv}{dt}=\frac{d}{dt}\big(2+2t\big)=0+2=2.
Portanto existe aceleração e ela é constante igual a \,2 (unidades de espaço por tempo ao quadrado). Assim, resposta à (d): sim, existe aceleração e a=2.

Passo 6

Calcular o espaço (posição) final depois de 2 segundos: basta substituir t=2 em \,S(t)=5+2t+t^{2}.
S(2)=5+2\cdot 2 + 2^{2}.
Calcule passo a passo:
2\cdot 2=4,\qquad 2^{2}=4,
S(2)=5+4+4=13.
Portanto o espaço após 2 s é \,13 (mesma unidade usada em S). Isso responde (e).

Passo 7

Determinar o tempo necessário para que S(t)=105. Resolver a equação:
5+2t+t^{2}=105.
Passos algebricos:
t^{2}+2t+5-105=0 \quad\Rightarrow\quad t^{2}+2t-100=0.
Aplicar a fórmula quadrática (para equação t^{2}+2t-100=0, as raízes são)
t=\frac{-2\pm\sqrt{2^{2}-4\cdot 1\cdot(-100)}}{2\cdot 1} =\frac{-2\pm\sqrt{4+400}}{2} =\frac{-2\pm\sqrt{404}}{2}.
Simplificando \sqrt{404}=2\sqrt{101}:
t=\frac{-2\pm 2\sqrt{101}}{2}=-1\pm\sqrt{101}.
As duas soluções são t=-1+\sqrt{101} e t=-1-\sqrt{101}. Num contexto físico usual tomamos t\ge 0, então descartamos a solução negativa t=-1-\sqrt{101} (que é aproximadamente -11,05). A solução positiva é
t=-1+\sqrt{101}.
Aproximação numérica: \sqrt{101}\approx 10,049, logo
t\approx -1+10,049\approx 9,049\\ \text{s}.
Arredondando para duas casas decimais: \,t\approx 9,05\\ \text{s}. Isso responde (f).

Resposta

(a) Sim, existe o termo \;t^{2}.
(b) Função do 2^{\circ} grau.
(c) MRUV.
(d) Sim; a=2.
(e) S(2)=13.
(f) t=-1+\sqrt{101}\approx 9,05\\ \text{s}.