Se uma função constante tem a equação f(x)=c, explique o que acontece se:
c=0

Passo 1

O enunciado é curto e pede para explicar o que acontece no caso especial de uma função constante f cuja fórmula é f(x)=c, quando c=0. Ou seja:
  • Dado que f(x)=c para todo x no domínio, o que muda quando c=0?
  • Quais são as propriedades importantes dessa função no caso c=0?

Passo 2

O que é uma função constante (lembrando devagar): dizer que f é constante significa que existe um número fixo c tal que, para todo x do domínio D,
f(x)=c.
Isto quer dizer que o valor da função não depende de x; é sempre o mesmo número. Quando o enunciado diz c=0, estamos no caso onde
f(x)=0\quad\text{para todo }x\in D.
Essa função tem um nome especial: função zero.

Passo 3

Definição e notação: a função zero é a função que envia qualquer entrada para o zero.
  • Se o domínio for D\subseteq\mathbb{R}, então escrevemos
f:D\to\mathbb{R},\qquad f(x)=0\text{ para todo }x\in D.
É importante notar que o domínio continua sendo o mesmo que foi definido para f; só mudamos o valor constante para 0.

Passo 4

Gráfico e interpretação geométrica: o gráfico de uma função constante f(x)=c é uma reta horizontal na altura y=c. No caso c=0,
\text{o gráfico é a reta }y=0,áé
ou seja, exatamente o eixo x (considerando todo o domínio). Visualizar isso ajuda na prova: sempre que vir f(x)=0, pense no eixo x.

Passo 5

Imagem (contradomínio efetivo) e conjunto de valores: para f(x)=0 vale
\operatorname{Im}(f)=\{0\}.
Ou seja, o conjunto de valores atingidos pela função contém apenas o número 0.

Passo 6

Conjunto de soluções da equação f(x)=0: se a definição da função é f(x)=0 para todo x\in D, então a equação
f(x)=0
é verdadeira para todo x\in D. Portanto o conjunto de soluções (raízes) é todo o domínio:
\{x\in D \mid f(x)=0\}=D.
Na prática isso significa que a equação tem infinitas soluções (assumindo que D tem mais de um elemento).

Passo 7

Continuidade e diferenciabilidade (passo a passo): constante implica continuidade e derivada nula.
  • Continuidade: por definição, f é contínua em x_0\in D se \lim_{x\to x_0} f(x)=f(x_0). Para f(x)=0 temos \lim_{x\to x_0} f(x)=0=f(x_0). Logo f é contínua em todo D.
  • Derivada: usar a definição da derivada. Para qualquer x\in D (supondo que o domínio permita derivadas),
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{0-0}{h}=\lim_{h\to0}0=0.
Portanto f é diferenciável e f'(x)=0 para todo x (quando faz sentido falar de derivada).

Passo 8

Integral e primitiva: a integral definida e as primitivas.
  • Integral definida: para quaisquer a,b\in D,
\int_{a}^{b} 0\,dx = 0.
  • Primitiva: qualquer primitiva de 0 é uma constante. Se F é primitiva de f, então F'(x)=0 e logo F(x)=K para alguma constante K.

Passo 9

Outras propriedades úteis para prova e álgebra:
  • Simetria: f(-x)=0=f(x) e também f(-x)=-f(x). Portanto a função zero é ao mesmo tempo par e ímpar.
  • Limitada: é limitada superior e inferiormente (por 0 ou por qualquer número maior/menor): |f(x)|\le 0 é verdadeiro, isto é, |f(x)|=0.
  • Em contexto linear (quando o domínio é um espaço vetorial), f é o operador linear nulo: satisfaz f(u+v)=f(u)+f(v) e f(\alpha u)=\alpha f(u). Ou seja, é o elemento neutro aditivo no espaço das funções.
  • Se se pede para comparar com outro c\neq0: funções constantes com c\neq0 têm todas as propriedades acima exceto que sua imagem é \{c\} (não contém 0) e a equação f(x)=0 não tem solução.

Passo 10

Como usar isso rapidamente numa prova (receita de bolso): ao ver f(x)=c com c=0, pense imediatamente:
  • “Função zero” → gráfico: y=0 (eixo x).
  • Todas as x do domínio são soluções de f(x)=0.
  • Continuidade e derivada: contínua e f'(x)=0.
  • Integral entre quaisquer limites é zero.
    Escreva isso curto e limpo na prova: identifique domínio, escreva que imagem é \{0\}, e conclua as propriedades pedidas.

Resposta

f(x)=0 é a função zero (para todo x do domínio), cujo gráfico é a reta y=0 (eixo x); a imagem é \{0\}, todas as x do domínio são raízes de f, a função é contínua em todo o domínio, diferenciável com f'(x)=0 (quando faz sentido) e \int_a^b f(x)\,dx=0 para quaisquer a,b\in D.