Se uma função constante tem a equação
, explique o que acontece se:
Passo 1
O enunciado é curto e pede para explicar o que acontece no caso especial de uma função constante
cuja fórmula é
, quando
. Ou seja:
- Dado que
para todo no domínio, o que muda quando ? - Quais são as propriedades importantes dessa função no caso
?
Passo 2
O que é uma função constante (lembrando devagar): dizer que
é constante significa que existe um número fixo
tal que, para todo
do domínio
,
Isto quer dizer que o valor da função não depende de
; é sempre o mesmo número. Quando o enunciado diz
, estamos no caso onde
Essa função tem um nome especial: função zero.
Passo 3
Definição e notação: a função zero é a função que envia qualquer entrada para o zero.
- Se o domínio for
, então escrevemos
É importante notar que o domínio continua sendo o mesmo que foi definido para
; só mudamos o valor constante para
.
Passo 4
Gráfico e interpretação geométrica: o gráfico de uma função constante
é uma reta horizontal na altura
. No caso
,
ou seja, exatamente o eixo
(considerando todo o domínio). Visualizar isso ajuda na prova: sempre que vir
, pense no eixo
.
Passo 5
Imagem (contradomínio efetivo) e conjunto de valores: para
vale
Ou seja, o conjunto de valores atingidos pela função contém apenas o número
.
Passo 6
Conjunto de soluções da equação
: se a definição da função é
para todo
, então a equação
é verdadeira para todo
. Portanto o conjunto de soluções (raízes) é todo o domínio:
Na prática isso significa que a equação tem infinitas soluções (assumindo que
tem mais de um elemento).
Passo 7
Continuidade e diferenciabilidade (passo a passo): constante implica continuidade e derivada nula.
- Continuidade: por definição,
é contínua em se . Para temos . Logo é contínua em todo . - Derivada: usar a definição da derivada. Para qualquer
(supondo que o domínio permita derivadas),
Portanto
é diferenciável e
para todo
(quando faz sentido falar de derivada).
Passo 8
Integral e primitiva: a integral definida e as primitivas.
- Integral definida: para quaisquer
,
- Primitiva: qualquer primitiva de
é uma constante. Se é primitiva de , então e logo para alguma constante .
Passo 9
Outras propriedades úteis para prova e álgebra:
- Simetria:
e também . Portanto a função zero é ao mesmo tempo par e ímpar. - Limitada: é limitada superior e inferiormente (por
ou por qualquer número maior/menor): é verdadeiro, isto é, . - Em contexto linear (quando o domínio é um espaço vetorial),
é o operador linear nulo: satisfaz e . Ou seja, é o elemento neutro aditivo no espaço das funções. - Se se pede para comparar com outro
: funções constantes com têm todas as propriedades acima exceto que sua imagem é (não contém ) e a equação não tem solução.
Passo 10
Como usar isso rapidamente numa prova (receita de bolso): ao ver
com
, pense imediatamente:
- “Função zero” → gráfico:
(eixo ). - Todas as
do domínio são soluções de . - Continuidade e derivada: contínua e
. - Integral entre quaisquer limites é zero.
Escreva isso curto e limpo na prova: identifique domínio, escreva que imagem é, e conclua as propriedades pedidas.