A função cosseno pode ser representada através de uma série definida como:
\cos (x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} x^{2n}}{(2 n)!} =1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\frac{x^{6}}{6!}+\ldots
Calcule uma aproximação do cosseno de \pi através da série acima, usando 3 termos ( n de zero a 2) e 8 termos ( n de zero a 7), e compare ambos os resultados com a função cosseno pré-definida do Octave. (Dica: use o comando for, crie uma variável com valor 0 antes do for para guardar a soma, e atualize essa variável a cada iteração somando o valor da parcela atual)

Passo 1

O enunciado pede que se calcule aproximações de \cos(\pi) usando a série de Taylor da função cosseno em torno de zero, e que se compare essas aproximações com o valor que a função pré-definida do Octave devolve. Mais precisamente:
  • Calcular a soma da série
\cos(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}
para x=\pi com dois cortes:
  • usando 3 termos: somar os termos com n=0,1,2;
  • usando 8 termos: somar os termos com n=0,1,\dots,7.
  • Comparar os resultados obtidos com o valor de \cos(\pi) fornecido pelo Octave (ou seja, a função pré-definida \text{cos}(\pi)).
Informações dadas que vou usar:
  • A série do cosseno (já fornecida).
  • O valor de x é \pi (usar a constante \pi).
  • Peço para usar um laço (for) acumulando uma variável soma; vou explicar isso e também fazer as contas numéricas para os termos e somas.

Passo 2

Entender o termo geral da série e as variáveis:
  • O termo geral da série é
a_n=\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!},
onde:
  • n é o índice da soma (começa em 0);
  • x é o ponto onde se avalia a série (aqui x=\pi);
  • (2n)! é o fatorial de 2n, isto é, o produto dos inteiros de 1 até 2n (por convenção 0!=1).
  • A soma parcial até N é
S_N=\sum_{n=0}^{N} a_n.
No problema pedem S_2 (3 termos: n=0,1,2) e S_7 (8 termos: n=0,\dots,7) para x=\pi.

Passo 3

Como calcular os termos de forma prática e sem refazer potências/fatoriais a cada passo (dica útil para prova e para programar):
  • A cada iteração, em vez de calcular x^{2n} e (2n)! do zero, pode-se usar a relação de recorrência entre termos consecutivos:
a_{n+1}=a_n\cdot\left(-\,\frac{x^{2}}{(2n+1)(2n+2)}\right).
Explicando: para passar de a_n=\dfrac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} para a_{n+1} multiplica-se por \dfrac{(-1)x^2}{(2n+1)(2n+2)}. Essa relação evita refazer potências e fatoriais grandes e é estável numericamente.
  • Em Octave (pseudo-código), a ideia é:
    • inicializar soma = 0; a = 1; (porque a_0=1);
    • para n = 0:N
      • soma = soma + a;
      • atualizar a = a * ( - x^2 / ((2*n+1)*(2*n+2)) );
    • no fim soma contém S_N.
  • Agora vou aplicar isso numericamente para x=\pi e mostrar os termos e somas parciais passo a passo (faço as contas com aproximações decimais razoavelmente precisas).

Passo 4

Cálculo explícito da aproximação com 3 termos ( n=0,1,2):
  • Listando os três primeiros termos usando a fórmula direta:
    • a_0=\dfrac{(-1)^0\pi^{0}}{0!}=1.
    • a_1=\dfrac{(-1)^1\pi^{2}}{2!}=-\dfrac{\pi^{2}}{2}.
    • a_2=\dfrac{(-1)^2\pi^{4}}{4!}=+\dfrac{\pi^{4}}{24}.
  • Substituindo valores numéricos (usar \pi\approx3,141592653589793):
    • \pi^{2}\approx9,869604401089358 então \dfrac{\pi^{2}}{2}\approx4,934802200544679.
    • \pi^{4}\approx97,40909103400243 então \dfrac{\pi^{4}}{24}\approx4,058712959750101.
  • Soma parcial S_2:
S_2 = a_0+a_1+a_2 = 1 - \frac{\pi^{2}}{2} + \frac{\pi^{4}}{24} = 1 - 4,934802200544679 + 4,058712959750101.
  • Avaliando numericamente:
S_2 \approx 0,123910759205422.
Portanto, a aproximação com 3 termos dá aproximadamente \,0,123910759205422.

Passo 5

Cálculo explícito da aproximação com 8 termos ( n=0,\dots,7). Vou usar a recorrência para obter os termos de forma rápida e dar os valores numéricos de cada parcela e da soma parcial após cada iteração.
  • Começo com a_0=1 e S_0=1.
  • A relação de recorrência usada é
a_{n+1}=a_n\cdot\left(-\,\frac{\pi^{2}}{(2n+1)(2n+2)}\right).
Calculemos termos e somas parciais (aproximações numéricas, com algumas casas relevantes):
  • n=0:
    • a_0 = 1.
    • Soma S_0 = 1.
  • n=1:
    • a_1 = -\dfrac{\pi^2}{2}\approx -4,934802200544679.
    • Soma S_1 = 1 - 4,934802200544679 \approx -3,934802200544679.
  • n=2:
    • a_2 = +\dfrac{\pi^4}{24}\approx +4,058712959750101.
    • Soma S_2 \approx -3,934802200544679 + 4,058712959750101 \approx 0,123910759205422. (confirma o cálculo do Passo 4)
  • n=3:
    • a_3 = -\dfrac{\pi^6}{6!} \approx -1,3352627688545897.
    • Soma S_3 \approx 0,123910759205422 - 1,3352627688545897 \approx -1,211352009649168.
  • n=4:
    • a_4 = +\dfrac{\pi^8}{8!} \approx +0,2353306303588931.
    • Soma S_4 \approx -1,211352009649168 + 0,2353306303588931 \approx -0,9760213792902749.
  • n=5:
    • a_5 = -\dfrac{\pi^{10}}{10!}\approx -0,025052108385441717.
    • Soma S_5 \approx -0,9760213792902749 - 0,025052108385441717 \approx -1,0010734876757166.
  • n=6:
    • Pelo fator de recorrência,
    a_6 = a_5\cdot\left(-\frac{\pi^2}{11\cdot12}\right).
    Numericamente isso dá aproximadamente
    a_6 \approx +0,001873311096761.
    • Soma S_6 \approx -1,0010734876757166 + 0,001873311096761 \approx -0,9992001765789556.
  • n=7:
    • Novamente pela recorrência,
    a_7 = a_6\cdot\left(-\frac{\pi^2}{13\cdot14}\right)
    que numericamente dá aproximadamente
    a_7 \approx -0,000101593173184.
    • Soma S_7 \approx -0,9992001765789556 - 0,000101593173184 \approx -0,9993017697521396.
Assim, a soma parcial com 8 termos (isto é, S_7) vale aproximadamente -0,9993017697521396.
Observação sobre precisão: os valores de a_6 e a_7 foram obtidos pela relação de recorrência aplicada aos valores anteriores; as aproximações numéricas aqui têm erro pequeno (algumas unidades nos últimos dígitos) e são suficientes para comparar a convergência da série.

Passo 6

Comparação com o valor do Octave (ou com o valor matemático conhecido):
  • Matematicamente sabe-se que \cos(\pi)=-1. O Octave, ao avaliar cos(pi), devolve num sistema de ponto flutuante um valor muito próximo de -1 (na prática -1 ou -1.000000000000000 até erros de arredondamento minúsculos).
  • Comparando:
    • Aproximação com 3 termos: S_2\approx0,123910759205422. Diferença para -1: |S_2-(-1)|\approx1,123910759205422 — erro grande.
    • Aproximação com 8 termos: S_7\approx-0,9993017697521396. Diferença para -1: |S_7-(-1)|\approx0,0006982302478604 — já bem menor, a soma está a cerca de 7,0\times10^{-4} de -1.
  • Regra prática (Teorema da série alternante): como a série de Taylor do cosseno é alternante com termos de magnitude decrescente, o erro ao truncar depois de N é menor que a magnitude do próximo termo. Por exemplo, o erro de S_7 é menor que |a_8| (o termo seguinte), o que dá uma estimativa confiável do erro sem calcular \cos(\pi) diretamente.

Passo 7

Como implementar rapidamente em Octave (exemplo de código):
x = pi;
N = 7;          % para 8 termos usar N=7; para 3 termos usar N=2
soma = 0;
a = 1;          % a_0
for n = 0:N
  soma = soma + a;
  a = a * ( - x^2 / ((2*n+1)*(2*n+2)) );
end
disp(soma)
Esse código calcula exatamente as somas que eu mostrei (com precisão de ponto-flutuante do Octave).

Resposta

Aproximação com 3 termos (n=0…2): 0,123910759205422
Aproximação com 8 termos (n=0…7): -0,9993017697521396
Valor de \cos(\pi) no Octave (valor matemático): -1

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