A função cosseno pode ser representada através de uma série definida como:
Calcule uma aproximação do cosseno de
através da série acima, usando 3 termos (
de zero a 2) e 8 termos (
de zero a 7), e compare ambos os resultados com a função cosseno pré-definida do Octave. (Dica: use o comando for, crie uma variável com valor 0 antes do for para guardar a soma, e atualize essa variável a cada iteração somando o valor da parcela atual)
Passo 1
O enunciado pede que se calcule aproximações de
usando a série de Taylor da função cosseno em torno de zero, e que se compare essas aproximações com o valor que a função pré-definida do Octave devolve. Mais precisamente:
- Calcular a soma da série
para
com dois cortes:
- usando 3 termos: somar os termos com
; - usando 8 termos: somar os termos com
. - Comparar os resultados obtidos com o valor de
fornecido pelo Octave (ou seja, a função pré-definida ).
Informações dadas que vou usar:
- A série do cosseno (já fornecida).
- O valor de
é (usar a constante ). - Peço para usar um laço (for) acumulando uma variável soma; vou explicar isso e também fazer as contas numéricas para os termos e somas.
Passo 2
Entender o termo geral da série e as variáveis:
- O termo geral da série é
onde:
-
é o índice da soma (começa em ); -
é o ponto onde se avalia a série (aqui ); -
é o fatorial de , isto é, o produto dos inteiros de até (por convenção ). - A soma parcial até
é
No problema pedem
(3 termos:
) e
(8 termos:
) para
.
Passo 3
Como calcular os termos de forma prática e sem refazer potências/fatoriais a cada passo (dica útil para prova e para programar):
- A cada iteração, em vez de calcular
e do zero, pode-se usar a relação de recorrência entre termos consecutivos:
Explicando: para passar de
para
multiplica-se por
. Essa relação evita refazer potências e fatoriais grandes e é estável numericamente.
- Em Octave (pseudo-código), a ideia é:
- inicializar
soma = 0; a = 1;(porque); - para
n = 0:Nsoma = soma + a;- atualizar
a = a * ( - x^2 / ((2*n+1)*(2*n+2)) );
- no fim
somacontém.
- inicializar
- Agora vou aplicar isso numericamente para
e mostrar os termos e somas parciais passo a passo (faço as contas com aproximações decimais razoavelmente precisas).
Passo 4
Cálculo explícito da aproximação com 3 termos (
):
- Listando os três primeiros termos usando a fórmula direta:
-
- Substituindo valores numéricos (usar
): -
então -
então
-
- Soma parcial
:
- Avaliando numericamente:
Portanto, a aproximação com 3 termos dá aproximadamente
.
Passo 5
Cálculo explícito da aproximação com 8 termos (
). Vou usar a recorrência para obter os termos de forma rápida e dar os valores numéricos de cada parcela e da soma parcial após cada iteração.
- Começo com
e . - A relação de recorrência usada é
Calculemos termos e somas parciais (aproximações numéricas, com algumas casas relevantes):
-
n=0:
-
. - Soma
.
-
-
n=1:
-
. - Soma
.
-
-
n=2:
-
. - Soma
. (confirma o cálculo do Passo 4)
-
-
n=3:
-
- Soma
.
-
-
n=4:
-
- Soma
-
-
n=5:
-
- Soma
-
-
n=6:
- Pelo fator de recorrência,
Numericamente isso dá aproximadamente- Soma
-
n=7:
- Novamente pela recorrência,
que numericamente dá aproximadamente- Soma
Assim, a soma parcial com 8 termos (isto é,
) vale aproximadamente
.
Observação sobre precisão: os valores de
e
foram obtidos pela relação de recorrência aplicada aos valores anteriores; as aproximações numéricas aqui têm erro pequeno (algumas unidades nos últimos dígitos) e são suficientes para comparar a convergência da série.
Passo 6
Comparação com o valor do Octave (ou com o valor matemático conhecido):
- Matematicamente sabe-se que
. O Octave, ao avaliar cos(pi), devolve num sistema de ponto flutuante um valor muito próximo de(na prática -1ou-1.000000000000000até erros de arredondamento minúsculos). - Comparando:
- Aproximação com 3 termos:
. Diferença para : — erro grande. - Aproximação com 8 termos:
. Diferença para : — já bem menor, a soma está a cerca de de .
- Aproximação com 3 termos:
- Regra prática (Teorema da série alternante): como a série de Taylor do cosseno é alternante com termos de magnitude decrescente, o erro ao truncar depois de
é menor que a magnitude do próximo termo. Por exemplo, o erro de é menor que (o termo seguinte), o que dá uma estimativa confiável do erro sem calcular diretamente.
Passo 7
Como implementar rapidamente em Octave (exemplo de código):
x = pi;
N = 7; % para 8 termos usar N=7; para 3 termos usar N=2
soma = 0;
a = 1; % a_0
for n = 0:N
soma = soma + a;
a = a * ( - x^2 / ((2*n+1)*(2*n+2)) );
end
disp(soma)
Esse código calcula exatamente as somas que eu mostrei (com precisão de ponto-flutuante do Octave).
Resposta
Aproximação com 3 termos (n=0…2):
Aproximação com 8 termos (n=0…7):
Valor de no Octave (valor matemático):
Aproximação com 8 termos (n=0…7):
Valor de