Se a função custo marginal de um produto é dada por 2 / x^{1 / 3} e se o custo de produção de 8 unidades é \ 20$, determine a funçāo custo e o custo de produção de 64 unidades.

Passo 1

O enunciado nos dá a função custo marginal
C'(x)=\frac{2}{x^{1/3}}
e a informação de que o custo total para 8 unidades é
C(8)=20.
O objetivo é encontrar a função custo C(x) integrando C'(x) e depois usar C(8)=20 para determinar a constante de integração. Por fim, calcular C(64).

Passo 2

Integramos C'(x) para obter C(x):
C(x)=\int 2\,x^{-1/3}\,dx =2\int x^{-1/3}\,dx =2\cdot\frac{x^{2/3}}{2/3}+k =3\,x^{2/3}+k,
onde k é a constante de integração.

Passo 3

Usamos a condição C(8)=20 para achar k:
C(8)=3\cdot 8^{2/3}+k =3\cdot 4 + k =12 + k =20 \quad\Longrightarrow\quad k=8.

Passo 4

Assim, a função custo é
C(x)=3\,x^{2/3}+8.

Passo 5

Para x=64, calculamos
C(64)=3\cdot 64^{2/3}+8 =3\cdot 16 +8 =48+8 =56.

Resposta

A função custo é
C(x)=3\,x^{2/3}+8
e o custo de produção de 64 unidades é \$56.

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