(a) A função delta de Dirac é uma função no sentido tradicional da matemática?
(b) Justifique sua resposta e explique o significado da integral da função delta de Dirac.

Passo 1

O enunciado faz duas perguntas claras:
(a) Pergunta se a função delta de Dirac é uma função no sentido tradicional da matemática.
(b) Pede que eu justifique a resposta de (a) e que explique o significado da integral da delta de Dirac.
Informações relevantes implícitas que vou usar:
  • A delta de Dirac é frequentemente tratada em física e engenharia como um “pulso infinito” num ponto com área total 1.
  • Na matemática rigorosa existe o espaço das funções teste (funções suaves com suporte compacto) e o conceito de distribuições (funcionais lineares sobre essas funções). Vou usar isso para justificar a resposta.
A partir daqui começo a resolver e a ensinar passo a passo.

Passo 2

Vou mostrar por que não existe uma função usual f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} que tenha todas as propriedades esperadas da delta de Dirac. Primeiro, descrevo a propriedade que queremos da delta: desejamos uma “função” \delta tal que
\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x)\,dx = 1
e que \delta(x)=0 para todo x\neq 0 (essa é a descrição intuitiva usada às vezes). Agora faço a argumentação por contradição.
Se \delta fosse uma função finita em todos os pontos e \delta(x)=0 para x\neq 0, então a integral (Riemann ou Lebesgue) sobre \mathbb{R} seria 0 porque um único ponto tem medida zero, logo
\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x)\,dx = 0,
contradizendo a exigência de que essa integral seja 1. Portanto essa hipótese falha.
Se tentarmos permitir que \delta(0)=+\infty e \delta(x)=0 para x\neq 0, então isso deixa de ser uma função com valor real em 0: não é uma função \mathbb{R}\to\mathbb{R}. Poderíamos obter alguma “massa” concentrada no ponto 0, mas uma função que toma o valor +\infty num ponto e valores finitos nos demais não é uma função usual integrável no sentido clássico. Assim, não existe uma função real tradicional que satisfaça todos os requisitos intuitivos da delta.
Conclusão deste passo: a delta de Dirac não é uma função no sentido clássico.

Passo 3

Agora ensino o conceito que resolve esse problema: a delta de Dirac é uma distribuição (também chamada de funcional linear contínua) ou, equivalentemente, a medida de Dirac concentrada em um ponto. Vou definir isso cuidadosamente e explicar o que cada peça significa.
Definição de funções teste: seja C_c^\infty(\mathbb{R}) o espaço de todas as funções \varphi:\mathbb{R}\to\mathbb{R} que são infinitamente diferenciáveis e têm suporte compacto (ou seja, são nulas fora de algum intervalo compacto). Essas são as “funções probe” com as quais testamos distribuições.
Uma distribuição T é, por definição, um funcional linear e contínuo que associa a cada \varphi\in C_c^\infty(\mathbb{R}) um número real T(\varphi). Linearidade significa
T(a\varphi + b\psi) = a\,T(\varphi) + b\,T(\psi)
para escalares a,b e funções teste \varphi,\psi.
A delta de Dirac em 0, denotada por \delta, é o funcional definido por
\langle \delta,\varphi\rangle = \varphi(0)
para toda \varphi\in C_c^\infty(\mathbb{R}). Aqui \langle\cdot,\cdot\rangle é a notação padrão para a ação da distribuição sobre a função teste. Isso quer dizer: a delta pega uma função teste e devolve o valor dessa função no ponto 0.
Explico por que isso é natural: muitas das propriedades práticas que se atribuem à delta, como a "soma total igual a 1" e a propriedade de “sugar” o valor da função num ponto, aparecem exatamente na fórmula acima quando interpretamos integrais de produto com funções suaves.

Passo 4

Mostro a relação entre a definição por distribuições e a ideia de limite de funções muito concentradas (esto é didático e útil na prova). Vou construir duas sequências de funções [\delta_n) que são funções reais e mostram o comportamento limite que motiva a definição da delta.
Exemplo 1 — aproximação por retângulos:
Defina
\delta_n(x) = \begin{cases} n, & \text{se } |x|\le \tfrac{1}{2n},\\[4pt] 0, & \text{se } |x|> \tfrac{1}{2n}. \end{cases}
Cada \delta_n\] é integrável e \[\int_{-\infty}^{\infty}\delta_n(x)\,dx = n\cdot \left(\tfrac{1}{n}\right) = 1.\] Agora pego uma função teste \(\varphi\in C_c^\infty(\mathbb{R}) (ou mesmo qualquer função contínua). Como \varphi é contínua em 0, para n grande \varphi(x) fica muito próxima de \varphi(0) quando |x|\le \tfrac{1}{2n}. Então
\left|\int_{-\infty}^{\infty}\delta_n(x)\varphi(x)\,dx - \varphi(0)\right| = \left|\int_{-1/(2n)}^{1/(2n)} n\big(\varphi(x)-\varphi(0)\big)\,dx\right| \le \sup_{|x|\le 1/(2n)}|\varphi(x)-\varphi(0)|\cdot \underbrace{\int_{-1/(2n)}^{1/(2n)} n\,dx}_{=1}.
Como \varphi é contínua, o supremo tende a 0 quando n\to\infty. Logo
\lim_{n\to\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\delta_n(x)\varphi(x)\,dx = \varphi(0).
Isto é exatamente a ação da distribuição \delta. Portanto \delta_n converge para \delta no sentido de distribuições (convergência fraca).
Exemplo 2 — aproximação por gaussianas:
Defina
\delta_n(x) = \frac{n}{\sqrt{\pi}}\,e^{-n^2 x^2}.
Também \int \delta_n = 1 para todo n. Pelo mesmo argumento (continuidade de \varphi e concentração do núcleo gaussiano), para toda \varphi\in C_c^\infty
\lim_{n\to\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\delta_n(x)\varphi(x)\,dx = \varphi(0).
Isso dá intuição: a delta é limite de funções cada vez mais concentradas, mas o limite não existe como função ponto-a-ponto — existe no sentido de distribuições.]

Passo 5

Apresento e explico a propriedade central (muito usada em provas): a propriedade de “peneiração” ou “sifting”:
para qualquer função contínua f que torne a integral bem definida (por exemplo f contínua e integrável localmente),
\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x-a)\,f(x)\,dx = f(a).
Explico por que isso vale: por definição da distribuição deslocada \delta_a tem ação \langle \delta_a,\varphi\rangle = \varphi(a). Se aproximarmos \delta(x-a) por \delta_n(x-a) (como nos exemplos) e multiplicarmos por f contínua, no limite obtemos f(a). Na prática de prova você pode usar diretamente essa propriedade quando f for contínua no ponto a. Esta é a justificativa matemática do uso físico comum de \delta.
Também mostro a propriedade de escala (útil em exercícios):
se b\neq 0,
\delta(bx) = \frac{1}{|b|}\,\delta(x),
no sentido de distribuições. Demonstro com mudança de variável: para qualquer \varphi,
\int_{-\infty}^{\infty}\delta(bx)\varphi(x)\,dx = \int_{-\infty}^{\infty}\delta(u)\varphi\!\left(\tfrac{u}{b}\right)\frac{du}{|b|} = \frac{1}{|b|}\,\varphi(0) = \int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{|b|}\delta(x)\varphi(x)\,dx,
logo os dois funcionais coincidem.

Passo 6

Explico o significado da integral da delta de Dirac em linguagem prática e em linguagem formal:
  • Linguagem prática (física/engenharia): pensar em \delta\) como um "pulso infinitamente alto e infinitamente estreito" concentrando área \(1\) no ponto \(0\). A integral \(\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x)\,dx = 1\) significa que a massa/área total do pulso é \(1\). A fórmula \[\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x-a)f(x)\,dx = f(a)
significa que, ao integrar junto de uma função f, a delta “extrai” o valor de f no ponto a.
  • Linguagem formal (teoria das distribuições / medidas): a delta é a medida de Dirac \delta_0 concentrada em 0. Para qualquer conjunto A,
\int_A d\delta_0 = \begin{cases}1, & \text{se }0\in A,\\\\ 0, & \text{se }0\notin A.\end{cases}
E para qualquer \varphi\in C_c^\infty\], \[\int_{-\infty}^{\infty}\varphi(x)\,d\delta_0(x) = \varphi(0).\] A mesma ideia vale para \(\delta_a (medida de Dirac em a).
Também comento a relação com a função degrau de Heaviside H: no sentido de distribuições
\frac{d}{dx}H(x) = \delta(x),
ou seja, a derivada da função que pula de 0 para 1 em 0 é a delta (essa igualdade é válida no sentido de distribuição, não ponto-a-ponto).

Passo 7

Dou algumas regras práticas e exemplos que você pode usar rapidamente na prova (e como aplicá-las passo a passo):
Regra 1 (sifting): se f for contínua em a,
\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x-a)f(x)\,dx = f(a).
Regra 2 (suporte de integração): se a\notin (p,q) então
\int_{p}^{q}\delta(x-a)\,dx = 0,
e se a\in (p,q) então
\int_{p}^{q}\delta(x-a)\,dx = 1.
Regra 3 (escala): para b\neq 0,
\delta(bx-a) = \frac{1}{|b|}\delta\!\left(x-\tfrac{a}{b}\right)
no sentido de distribuições. Use mudança de variável em integrais para aplicar isso.
Exemplo rápido resolvido (modo de prova): calcular
\int_{-1}^{2}\delta(x-1/2)\,x^2\,dx.
Como 1/2\in(-1,2) e x^2 é contínua,
\int_{-1}^{2}\delta(x-1/2)\,x^2\,dx = (1/2)^2 = \tfrac{1}{4}.

Passo 8

Resumo prático (para sua prova): não trate a delta como uma função convencional; trate-a como um funcional (ou medida). Na hora de calcular integrais com \delta, use sempre a propriedade de peneiração/sifting e propriedades de mudança de variável. Quando precisar de justificativa rigorosa, mencione que a delta é a distribuição dada por \langle\delta,\varphi\rangle=\varphi(0) para todas as funções teste \varphi.
Força aí — você consegue aprender a aplicar essas regras rapidamente e com prática elas viram rotina.

Resposta

(a) Não, \delta não é uma função no sentido tradicional; é uma distribuição (ou medida de Dirac).
(b) Justificativa curta e significado da integral: a delta é definida como o funcional \langle\delta,\varphi\rangle=\varphi(0) para toda \varphi\in C_c^\infty(\mathbb{R}); por isso, para qualquer função contínua f com integral bem definida,
\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x-a)\,f(x)\,dx = f(a),
isto é, a integral da delta “extrai” o valor da função no ponto a.

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