A função de Dirichlet é definida por
f(x)=\left\{\begin{array}{lll} 1, & \text { se } & x \in \mathbb{Q} \\\\ 0, & \text { se } & x \notin \mathbb{Q} \end{array}\right.
Mostre que, qualquer que seja o número real a, não existe \lim _{x \rightarrow a} f(x) (esse é um exemplo clássico de função que não possui limite em nenhum ponto).
Pondo g(x)=x f(x), o que se pode afirmar sobre o \lim _{x \rightarrow 0} g(x) ?

Passo 1

O enunciado apresenta a função de Dirichlet
f(x)=\begin{cases} 1,&\text{se }x\in\mathbb{Q},\\\\ 0,&\text{se }x\notin\mathbb{Q}, \end{cases}
e pede primeiro para mostrar que, para todo real a, não existe \lim_{x\to a}f(x). Em seguida define
g(x)=x\,f(x)
e pergunta qual é \lim_{x\to0}g(x). Usaremos dois critérios: o critério sequencial de limite para f e a desigualdade de aperto (squeeze) para g.

Passo 2

Para \lim_{x\to a}f(x), aplicamos o critério sequencial: se o limite existisse e fosse igual a L, toda sequência x_n\to a daria f(x_n)\to L. Agora escolhemos duas sequências diferentes convergindo para a:
  1. Sequência de racionais (r_n)\subset\mathbb{Q} tal que r_n\to a.
    Então f(r_n)=1\quad\forall n \quad\Longrightarrow\quad f(r_n)\to 1.

Passo 3

  1. Sequência de irracionais (s_n)\subset\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} tal que s_n\to a.
    Então f(s_n)=0\quad\forall n \quad\Longrightarrow\quad f(s_n)\to 0.
Como as duas sequências dão limites diferentes ( 1 e 0), não existe um único L que seja o limite de f(x) quando x\to a. Logo \lim_{x\to a}f(x) não existe.

Passo 4

Agora considere g(x)=x\,f(x). Observamos que para todo x\in\mathbb{R} vale
f(x)\in\{0,1\} \quad\Longrightarrow\quad |g(x)|=|x\,f(x)|\le |x|.

Passo 5

Pelo teorema do aperto (squeeze), como
0\le |g(x)|\le |x| \quad\text{e}\quad \lim_{x\to0}|x|=0,
segue que \lim_{x\to0}|g(x)|=0, e portanto
\lim_{x\to0}g(x)=0.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to0}g(x)=0.

Exercícios relacionados