A função energia potencial gravitacional ( U ), originada a partir de uma força conservativa aplicada sobre uma partícula que se movimenta em linha reta, cujas posições são representadas pela variável x, é dada pela equação abaixo
U(x)=-10,0 \cdot\left(\frac{a}{x^{2}}-\frac{b}{x^{4}}\right)
Considere que os parâmetros a e b valem, respectivamente, 1,00 \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{~m}^{4} / \mathrm{s}^{2} e 4,0 \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{~m}^{6} / \mathrm{s}^{2} e que U e x são, respectivamente, medidos em joule e metro.
Com base nessas informações e sabendo que essa partícula se movimenta em linha reta, sob ação apenas dessa força, entre as posições x_{1}=1,00 m e x_{2}=2,00 m, é correto afirmar:
A) a energia potencial da partícula aumenta em 300 J e o módulo da força resultante aumenta em 138 N .
B) a energia cinética da partícula diminui em 30,0 \mathrm{~J} e o módulo da força resultante aumenta em 142 N .
C) a energia cinética da partícula aumenta em 30,0 \mathrm{~J} e o módulo da força resultante diminui em 138 N .
D) a energia potencial diminui em 300 J e o módulo da força resultante diminui em 142 N .

Passo 1

O enunciado nos dá a energia potencial de uma partícula em movimento unidimensional sob uma força conservativa,
U(x) = -10\cdot\Bigl(\frac{a}{x^{2}} - \frac{b}{x^{4}}\Bigr),
com a=1{,}00 kg m ^4/s ^2 e b=4{,}0 kg m ^6/s ^2, e pede a variação de U entre x_1=1{,}00 m e x_2=2{,}00 m, a variação de energia cinética pela conservação da energia mecânica e a mudança no módulo da força resultante, sabendo que
F(x) = -\frac{dU}{dx}.

Passo 2

Calcular U em x_1 e em x_2. Substituindo a=1 e b=4:
U(x) = -10\Bigl(\frac{1}{x^2}-\frac{4}{x^4}\Bigr).
Em x_1=1:
U(1) = -10\bigl(1 - 4\bigr) = -10\cdot(-3) = 30\text{ J}.
Em x_2=2:
U(2) = -10\Bigl(\tfrac{1}{4}-\tfrac{4}{16}\Bigr) = -10\bigl(0{,}25 - 0{,}25\bigr) = 0\text{ J}.
Logo, \Delta U = U(2) - U(1) = 0 - 30 = -30\text{ J} (a energia potencial diminui 30 J).

Passo 3

Pela conservação da energia mecânica (sem outras forças não conservativas),
\Delta K = -\,\Delta U = -(-30\text{ J}) = +30\text{ J},
ou seja, a energia cinética aumenta em 30 J.

Passo 4

Determinar a força:
U(x) = -10\,a\,x^{-2} + 10\,b\,x^{-4} \quad\Rightarrow\quad \frac{dU}{dx} = 20\,a\,x^{-3} - 40\,b\,x^{-5},
F(x) = -\frac{dU}{dx} = -20\,a\,x^{-3} + 40\,b\,x^{-5}.
Com a=1 e b=4:
F(x) = -20\,x^{-3} + 160\,x^{-5}.
Em x_1=1:
F(1) = -20 + 160 = 140\text{ N}.
Em x_2=2:
F(2) = -20\cdot 2^{-3} + 160\cdot 2^{-5} = -20\cdot\frac{1}{8} + 160\cdot\frac{1}{32} = -2{,}5 + 5 = 2{,}5\text{ N}.
O módulo da força vai de 140 N para 2{,}5 N, diminuindo em 140 - 2{,}5 = 137{,}5\approx138 N.

Passo 5

Confrontando com as alternativas, temos:
  • Energia cinética aumenta em 30 J.
  • Módulo da força diminuí em cerca de 138 N.
    Isso corresponde à letra C.

Resposta

C) a energia cinética da partícula aumenta em 30,0 J e o módulo da força resultante diminui em 138 N.

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