A função f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} definida por f(0,0)=0, f(x, y)=\frac{x y}{x^{2}+y^{2}} se (x, y) \neq(0,0), é contínua em (a, b) \neq(0,0) ? É contínua em (0,0) ? Justifique.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y) = \begin{cases} 0, & (x,y)=(0,0),\\[6pt] \dfrac{x\,y}{x^{2}+y^{2}}, & (x,y)\neq(0,0), \end{cases}
e pergunta se f é contínua em pontos (a,b)\neq(0,0) e se é contínua em (0,0). O conteúdo envolvido é continuidade de funções de duas variáveis, usando a definição de limite e as propriedades de operações contínuas (soma, produto e quociente).]

Passo 2

Para (a,b)\neq(0,0) temos a^{2}+b^{2}>0, de modo que, num entorno de (a,b), o denominador x^{2}+y^{2} permanece diferente de zero. Como polinômios são contínuos e o quociente de funções contínuas é contínuo onde o denominador não zera, concluímos que
(x,y)\mapsto \frac{x\,y}{x^{2}+y^{2}}
é contínua num bairro de (a,b). Logo f coincide ali com essa expressão e, portanto, é contínua em (a,b).

Passo 3

No ponto (0,0) precisamos verificar \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y) e ver se ele bate com f(0,0)=0. Vejamos limites por diferentes trajetórias:
  1. Pela reta y=x temos, para x\neq0,
    f(x,x)=\frac{x\cdot x}{x^{2}+x^{2}}=\frac{x^{2}}{2x^{2}}=\frac12,
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    \displaystyle\lim_{x\to0}f(x,x)=\tfrac12.
  2. Pela reta y=-x obtemos
    f(x,-x)=\frac{x\cdot(-x)}{x^{2}+(-x)^{2}}=\frac{-x^{2}}{2x^{2}}=-\frac12,
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    \displaystyle\lim_{x\to0}f(x,-x)=-\tfrac12.
Como esses dois limites são diferentes, o limite de f(x,y) quando (x,y)\to(0,0) não existe. Portanto não coincide com f(0,0)=0 e f é descontínua em (0,0).

Resposta

Para todo (a,b)\neq(0,0), f é contínua; em (0,0), f não é contínua.

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