A função implícita z(x, y) é dada pela equação \ln (x+y z)=4 x y^{2} z^{4}. Determine as direções em que a derivada direcional de z(x, y) no ponto (0,-1) tem valor -1 .

Passo 1

O enunciado dá uma função implícita z(x,y) definida por
\ln\bigl(x+y z\bigr)=4x y^{2} z^{4},
e pede: encontrar as direções (vetores unitários no plano (x,y)) em que a derivada direcional de z no ponto (0,-1) vale -1.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\text{Equação implícita: }\ln\bigl(x+y z\bigr)-4x y^{2} z^{4}=0.çãí
Ponto onde avaliamos: (x,y)=(0,-1). Precisamos:
  • determinar o valor de z nesse ponto (ou seja, z(0,-1));
  • calcular as derivadas parciais z_x e z_y em (0,-1);
  • achar todos os vetores unitários u=(a,b) tais que a derivada direcional D_{u}z(0,-1)=-1.

Passo 2

Primeiro vamos achar z(0,-1) substituindo x=0 e y=-1 na equação implícita. Substituindo, obtemos
\ln\bigl(0+(-1)\,z\bigr)=\ln(-z)=4\cdot 0\cdot(-1)^{2} z^{4}=0.
Isto dá \ln(-z)=0, logo -z=1 e portanto
z(0,-1)=-1.
Observação: aqui usei que a expressão dentro do \ln deve ser positiva, então -z>0, consistente com z=-1.

Passo 3

Para obter z_x e z_y usamos diferenciação implícita. Definimos a função de três variáveis
F(x,y,z)=\ln\bigl(x+y z\bigr)-4x y^{2} z^{4},
de modo que F(x,y,z(x,y))\equiv 0. Pela regra da diferenciação implícita, as derivadas parciais de z são
z_x = -\frac{F_x}{F_z},\qquad z_y = -\frac{F_y}{F_z},
onde F_x,F_y,F_z são as derivadas parciais de F em relação a x,y,z tratando as outras variáveis como independentes.
Explicando essa fórmula de forma simples: se F(x,y,z(x,y))=0, derivando em relação a x obtemos F_x + F_z z_x=0, daí z_x=-F_x/F_z. Mesma ideia para y.

Passo 4

Vamos calcular F_x,F_y,F_z explicitamente. Recorde que a derivada de \ln(u) em relação a uma variável é \dfrac{1}{u}\cdot u'.
  • Para F_x (tratando y e z como independentes):
F_x=\frac{1}{x+y z}\cdot 1 \;-\; 4y^{2} z^{4}.
Explicação: derivada de \ln(x+y z) em relação a x é 1/(x+y z) (porque \partial(x+y z)/\partial x =1); derivada de -4x y^2 z^4 em relação a x é -4 y^2 z^4.
  • Para F_y:
F_y=\frac{1}{x+y z}\cdot z \;-\; 8 x y z^{4}.
Explicação: \partial(x+y z)/\partial y = z; e \partial(-4x y^2 z^4)/\partial y = -4x\cdot 2y\cdot z^4 = -8 x y z^4.
  • Para F_z:
F_z=\frac{1}{x+y z}\cdot y \;-\; 16 x y^{2} z^{3}.
Explicação: \partial(x+y z)/\partial z = y; e \partial(-4x y^2 z^4)/\partial z = -4x y^2\cdot 4 z^3 = -16 x y^2 z^3.

Passo 5

Agora avaliamos F_x,F_y,F_z no ponto (x,y,z)=(0,-1,-1). Primeiro calcule x+y z nesse ponto:
x+y z = 0 + (-1)\cdot(-1)=1,
logo 1/(x+y z)=1.
Substituindo:
F_x(0,-1,-1)=1 - 4\cdot(-1)^{2}\cdot(-1)^{4}=1-4= -3.
F_y(0,-1,-1)=z - 8 x y z^{4}=(-1)-0 = -1 \quad\text{(pois \(x=0\) anula o segundo termo)}.
F_z(0,-1,-1)=y - 16 x y^{2} z^{3}=(-1)-0 = -1 \quad\text{(novamente \(x=0\) anula o segundo termo)}.

Passo 6

Usando z_x = -F_x/F_z e z_y = -F_y/F_z, avaliados no ponto, temos:
z_x(0,-1) = -\frac{-3}{-1} = -3,
z_y(0,-1) = -\frac{-1}{-1} = -1.
Portanto o gradiente de z no ponto é \nabla z(0,-1)=\bigl(z_x,z_y\bigr)=\bigl(-3,-1\bigr).
Breve comentário didático: o gradiente dá as taxas de variação de z nas direções dos eixos x e y. Aqui, mover um pouco em x altera z aproximadamente em -3 vezes o deslocamento em x; mover em y altera z aproximadamente em -1 vezes o deslocamento em y.

Passo 7

Lembrete sobre derivada direcional: para uma função z(x,y) e um vetor unitário u=(a,b) com a^{2}+b^{2}=1, a derivada direcional de z na direção u é
D_{u}z = \nabla z\cdot u = z_x a + z_y b.
Aqui queremos todas as direções unitárias u=(a,b) tais que D_{u}z(0,-1)=-1. Substituindo \nabla z(0,-1)=(-3,-1), a condição é
-3a - b = -1.
Além disso, u precisa ser unitário:
a^{2}+b^{2}=1.

Passo 8

Resolvemos o sistema
\begin{cases} -3a - b = -1,\\[4pt] a^{2}+b^{2}=1. \end{cases}
Da primeira equação isolamos b:
b = 1 - 3a.
Substituímos na equação do círculo:
a^{2}+(1-3a)^{2}=1.
Expandindo:
a^{2} + 1 -6a +9a^{2}=1 \quad\Longrightarrow\quad 10a^{2}-6a+1=1.
Cancelando 1 dos dois lados:
10a^{2}-6a=0 \quad\Longrightarrow\quad 2a(5a-3)=0.
Assim as soluções para a são a=0 ou a=\tfrac{3}{5}.]

Passo 9

Para a=0 temos b=1-3\cdot 0 = 1. O vetor é u=(0,1); é unitário e satisfaz -3\cdot 0 -1\cdot 1 = -1.
Para a=\tfrac{3}{5} temos b=1-3\cdot \tfrac{3}{5}=1-\tfrac{9}{5}=-\tfrac{4}{5}. O vetor é u=\bigl(\tfrac{3}{5},-\tfrac{4}{5}\bigr); verifica-se que (\tfrac{3}{5})^{2}+(-\tfrac{4}{5})^{2}=1 e que -3\cdot \tfrac{3}{5}-1\cdot\bigl(-\tfrac{4}{5}\bigr)=-\tfrac{9}{5}+\tfrac{4}{5}=-\tfrac{5}{5}=-1.
Portanto as duas direções unitárias que satisfazem a condição são u=(0,1) e u=\bigl(\tfrac{3}{5},-\tfrac{4}{5}\bigr).

Resposta

(0,1)
\displaystyle \left(\tfrac{3}{5},-\tfrac{4}{5}\right)