A função implícita
é dada pela equação
. Determine as direções em que a derivada direcional de
no ponto
tem valor -1 .
Passo 1
O enunciado dá uma função implícita
definida por
e pede: encontrar as direções (vetores unitários no plano
) em que a derivada direcional de
no ponto
vale
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Ponto onde avaliamos:
. Precisamos:
- determinar o valor de
nesse ponto (ou seja, ); - calcular as derivadas parciais
e em ; - achar todos os vetores unitários
tais que a derivada direcional .
Passo 2
Primeiro vamos achar
substituindo
e
na equação implícita. Substituindo, obtemos
Isto dá
, logo
e portanto
Observação: aqui usei que a expressão dentro do
deve ser positiva, então
, consistente com
.
Passo 3
Para obter
e
usamos diferenciação implícita. Definimos a função de três variáveis
de modo que
. Pela regra da diferenciação implícita, as derivadas parciais de
são
onde
são as derivadas parciais de
em relação a
tratando as outras variáveis como independentes.
Explicando essa fórmula de forma simples: se
, derivando em relação a
obtemos
, daí
. Mesma ideia para
.
Passo 4
Vamos calcular
explicitamente. Recorde que a derivada de
em relação a uma variável é
.
- Para
(tratando e como independentes):
Explicação: derivada de
em relação a
é
(porque
); derivada de
em relação a
é
.
- Para
:
Explicação:
; e
.
- Para
:
Explicação:
; e
.
Passo 5
Agora avaliamos
no ponto
. Primeiro calcule
nesse ponto:
logo
.
Substituindo:
Passo 6
Usando
e
, avaliados no ponto, temos:
Portanto o gradiente de
no ponto é
.
Breve comentário didático: o gradiente dá as taxas de variação de
nas direções dos eixos
e
. Aqui, mover um pouco em
altera
aproximadamente em
vezes o deslocamento em
; mover em
altera
aproximadamente em
vezes o deslocamento em
.
Passo 7
Lembrete sobre derivada direcional: para uma função
e um vetor unitário
com
, a derivada direcional de
na direção
é
Aqui queremos todas as direções unitárias
tais que
. Substituindo
, a condição é
Além disso,
precisa ser unitário:
Passo 8
Resolvemos o sistema
Da primeira equação isolamos
:
Substituímos na equação do círculo:
Expandindo:
Cancelando
dos dois lados:
Assim as soluções para
são
ou
.]
Passo 9
Para
temos
. O vetor é
; é unitário e satisfaz
.
Para
temos
. O vetor é
; verifica-se que
e que
.
Portanto as duas direções unitárias que satisfazem a condição são
e
.