A função implícita z(x, y) é dada pela equação \ln (x+y z)=4 x y^{5} z^{2}. Determine as direções em que a derivada direcional de z(x, y) no ponto (0,-1) tem valor 1 .
Passo 1
O enunciado dá a função implícita
\ln(x+y z)=4x y^{5} z^{2}
e pede: "determine as direções em que a derivada direcional de z(x,y) no ponto (0,-1) vale 1". Informações relevantes que já temos no enunciado:
A relação entre x,y,z é dada pela equação acima (ou seja, z é definida implicitamente por essa igualdade).
O ponto onde queremos a derivada direcional é (x,y)=(0,-1).
O que nos pedem são as direções (vetores unitários (u_1,u_2)) tais que a derivada direcional de z nessa direção vale 1.
Para aplicar diferenciação implícita precisamos saber o valor de z no ponto (0,-1); esse valor não foi dado explicitamente, então teremos de encontrá-lo.
Passo 2
Encontrar o valor de z no ponto (0,-1) substituindo x=0 e y=-1 na equação implícita e resolvendo para z. Substituindo:
\ln(0 + (-1)\,z)=4\cdot 0\cdot (-1)^{5} z^{2}.
O lado direito é 0, então
\ln(-z)=0.
Isto implica -z=1, ou seja
z=-1.
Verificação de domínio: o argumento do log em (0,-1,-1) é x+y z=0+(-1)(-1)=1>0, logo está tudo bem.
Passo 3
Para encontrar as derivadas parciais z_x e z_y usaremos diferenciação implícita. Definimos a função
F(x,y,z)=\ln(x+y z)-4x y^{5} z^{2},
de modo que a equação implícita é F(x,y,z)=0. Pela regra da diferenciação implícita (ou Teorema da Função Implícita), se F_z\neq 0 então
z_x=-\frac{F_x}{F_z},\qquad z_y=-\frac{F_y}{F_z}.
Aqui F_x,F_y,F_z são as derivadas parciais de F tratando x,y,z como variáveis independentes (ou seja, ao calcular F_x tratamos z como constante, etc.). Vou calcular essas parciais explicitamente.
Passo 4
Calcular F_x,F_y,F_z usando regras básicas (derivada do log e regra do produto/potência).