A função implícita z(x, y) é dada pela equação \ln (x+y z)=4 x y^{5} z^{2}. Determine as direções em que a derivada direcional de z(x, y) no ponto (0,-1) tem valor 1 .

Passo 1

O enunciado dá a função implícita
\ln(x+y z)=4x y^{5} z^{2}
e pede: "determine as direções em que a derivada direcional de z(x,y) no ponto (0,-1) vale 1". Informações relevantes que já temos no enunciado:
  • A relação entre x,y,z é dada pela equação acima (ou seja, z é definida implicitamente por essa igualdade).
  • O ponto onde queremos a derivada direcional é (x,y)=(0,-1).
  • O que nos pedem são as direções (vetores unitários (u_1,u_2)) tais que a derivada direcional de z nessa direção vale 1.
  • Para aplicar diferenciação implícita precisamos saber o valor de z no ponto (0,-1); esse valor não foi dado explicitamente, então teremos de encontrá-lo.

Passo 2

Encontrar o valor de z no ponto (0,-1) substituindo x=0 e y=-1 na equação implícita e resolvendo para z. Substituindo:
\ln(0 + (-1)\,z)=4\cdot 0\cdot (-1)^{5} z^{2}.
O lado direito é 0, então
\ln(-z)=0.
Isto implica -z=1, ou seja
z=-1.
Verificação de domínio: o argumento do log em (0,-1,-1) é x+y z=0+(-1)(-1)=1>0, logo está tudo bem.

Passo 3

Para encontrar as derivadas parciais z_x e z_y usaremos diferenciação implícita. Definimos a função
F(x,y,z)=\ln(x+y z)-4x y^{5} z^{2},
de modo que a equação implícita é F(x,y,z)=0. Pela regra da diferenciação implícita (ou Teorema da Função Implícita), se F_z\neq 0 então
z_x=-\frac{F_x}{F_z},\qquad z_y=-\frac{F_y}{F_z}.
Aqui F_x,F_y,F_z são as derivadas parciais de F tratando x,y,z como variáveis independentes (ou seja, ao calcular F_x tratamos z como constante, etc.). Vou calcular essas parciais explicitamente.

Passo 4

Calcular F_x,F_y,F_z usando regras básicas (derivada do log e regra do produto/potência).
Derivada da primeira parcela \ln(x+y z):
  • \dfrac{\partial}{\partial x}\ln(x+y z)=\dfrac{1}{x+y z}\cdot 1=\dfrac{1}{x+y z}.
  • \dfrac{\partial}{\partial y}\ln(x+y z)=\dfrac{1}{x+y z}\cdot z=\dfrac{z}{x+y z}.
  • \dfrac{\partial}{\partial z}\ln(x+y z)=\dfrac{1}{x+y z}\cdot y=\dfrac{y}{x+y z}.
Derivada da segunda parcela -4x y^{5} z^{2}:
  • \dfrac{\partial}{\partial x}(-4x y^{5} z^{2})=-4 y^{5} z^{2} (tratando y,z constantes).
  • \dfrac{\partial}{\partial y}(-4x y^{5} z^{2})=-4x\cdot 5 y^{4} z^{2}=-20 x y^{4} z^{2}.
  • \dfrac{\partial}{\partial z}(-4x y^{5} z^{2})=-4x y^{5}\cdot 2z=-8 x y^{5} z.
Somando as contribuições, obtemos:
F_x=\frac{1}{x+y z}-4 y^{5} z^{2},
F_y=\frac{z}{x+y z}-20 x y^{4} z^{2},
F_z=\frac{y}{x+y z}-8 x y^{5} z.

Passo 5

Avaliar F_x,F_y,F_z no ponto (x,y,z)=(0,-1,-1). Primeiro note que
x+y z=0+(-1)(-1)=1.
Agora substituir em cada expressão:
  • Para F_x:
F_x\big|_{(0,-1,-1)}=\frac{1}{1}-4(-1)^{5}(-1)^{2}=1-4\cdot(-1)\cdot 1=1+4=5.
  • Para F_y:
F_y\big|_{(0,-1,-1)}=\frac{z}{1}-20\cdot 0\cdot(\cdots)=z=-1.
(obs.: o termo com x some porque x=0.)
  • Para F_z:
F_z\big|_{(0,-1,-1)}=\frac{y}{1}-8\cdot 0\cdot(\cdots)=y=-1.
Portanto F_x=5, F_y=-1, F_z=-1 no ponto em questão. Como F_z\neq 0, podemos aplicar a fórmula da Passo 3.

Passo 6

Calcular z_x e z_y usando z_x=-F_x/F_z e z_y=-F_y/F_z:
z_x=-\frac{5}{-1}=5,
z_y=-\frac{-1}{-1}=-1.
Logo o gradiente de z no ponto (0,-1) é \nabla z(0,-1)=(5,-1). Interpretação curta: a variação instantânea de z com x é 5 e com y é -1 naquele ponto.

Passo 7

A derivada direcional de z na direção do vetor unitário u=(u_1,u_2) é dada por
D_{u} z(0,-1)=z_x(0,-1)\,u_1+z_y(0,-1)\,u_2.
Substituindo z_x=5 e z_y=-1 obtemos a expressão
D_{u} z(0,-1)=5u_1-u_2.
Queremos direções unitárias u tais que D_{u} z(0,-1)=1. Assim devemos resolver o sistema
\begin{cases} 5u_1-u_2=1,\\[4pt] u_1^{2}+u_2^{2}=1. \end{cases}]

Passo 8

Resolver o sistema. Da primeira equação isolamos u_2:
u_2=5u_1-1.
Substituindo na condição de unidade:
u_1^{2}+(5u_1-1)^{2}=1.
Desenvolvendo:
u_1^{2}+25u_1^{2}-10u_1+1=1.
O termo +1 de ambos os lados cancela, sobrando
26u_1^{2}-10u_1=0.
Fatorando:
2u_1(13u_1-5)=0.
Portanto as soluções para u_1 são u_1=0 ou u_1=\dfrac{5}{13}.
Agora calculamos u_2 em cada caso:
  • Se u_1=0, então u_2=5\cdot 0-1=-1. O vetor é (0,-1) e tem norma 1.
  • Se u_1=\dfrac{5}{13}, então
u_2=5\cdot \frac{5}{13}-1=\frac{25}{13}-\frac{13}{13}=\frac{12}{13}.
O vetor é \left(\dfrac{5}{13},\dfrac{12}{13}\right) e sua norma é \sqrt{\dfrac{25}{169}+\dfrac{144}{169}}=\sqrt{1}=1.
Ambos satisfazem as duas equações, logo são as direções procuradas.

Resposta

\displaystyle (0,-1)
\displaystyle \left(\dfrac{5}{13},\dfrac{12}{13}\right)