- A função
é usada para modelar o tamanho de crianças como função do tempo em anos, onde
e c sao constantes positivas não nulas.
(a) Calcular
. Interpretar a resposta dada.
(b)
tem ponto de máximo?
(c) Calcular
. Interpretar a resposta dada.
(d) Mostrar que
se
.
(e)
que ocorre se
?
(a)
. Representa a taxa de crescimento da criança no instante
.
(b)
. Assim, a função
não tem máximo entre (
).
(c) Derivada segunda:
. Se
,
. Ou
seja, a taxa de crescimento da criança durante os anos vai diminuindo conforme ela vai crescendo, o que corresponde com o normalmente observado. Porém, se
o que corresponde ao efeito contrário.
(d) O sinal de
depende exclusivamente de b. Assim, se
. Isto é, a velocidade de crescimento é decrescente, durante a vida a velocidade com que crescemos decresce.
(a) Calcular
(b)
(c) Calcular
(d) Mostrar que
(e)
(a)
(b)
(c) Derivada segunda:
seja, a taxa de crescimento da criança durante os anos vai diminuindo conforme ela vai crescendo, o que corresponde com o normalmente observado. Porém, se
(d) O sinal de
Passo 1
O enunciado nos dá a função
onde
,
e
são constantes positivas, e pede:
– (a) a primeira derivada e interpretação;
– (b) existência de ponto de máximo;
– (c) a segunda derivada e interpretação;
– (d) mostrar que, se , então
;
– (e) o comportamento de quando
.
Para resolver vamos usar regras básicas de derivação de exponencial e limites.
– (a) a primeira derivada
– (b) existência de ponto de máximo;
– (c) a segunda derivada
– (d) mostrar que, se
– (e) o comportamento de
Para resolver vamos usar regras básicas de derivação de exponencial e limites.
Passo 2
Derivamos
. A constante some e, para a parte exponencial, usamos
Logo,
Interpretação:
é a taxa instantânea de crescimento da criança no tempo
. Como
, ela é positiva, indicando que a criança sempre cresce, mas decresce com o tempo porque
cai.
Passo 3
Para ter ponto de máximo precisamos achar onde
. Mas
pois
são positivos. Portanto não há ponto de máximo (a função é estritamente crescente).
Passo 4
Derivando
mais uma vez, obtemos
Interpretação:
mede a concavidade de
. Como é negativo (para
), diz que a taxa de crescimento
está diminuindo — ou seja, a criança cresce cada vez mais devagar.
Passo 5
Note que em
os termos
,
e
são todos positivos se
. Logo
o que confirma rigorosamente a concavidade para baixo quando
.
Passo 6
Para
, temos
. Assim
Isto mostra que
tende a um valor limite
, um nível de estatura assintótico.
Resposta
(a)
. É a taxa instantânea de crescimento, positiva e decrescente.
(b) Não, para todo
, logo não há máximo local.
(c) . Mede a concavidade; como é negativo, diz que a taxa de crescimento diminui.
(d) Se , então
para todo
.
(e) .
(b) Não,
(c)
(d) Se
(e)