1. A função
L(t)=a+b\left(1-e^{-c t}\right)
é usada para modelar o tamanho de crianças como função do tempo em anos, onde a, b e c sao constantes positivas não nulas.
(a) Calcular L^{\prime}(t). Interpretar a resposta dada.
(b) L(t) tem ponto de máximo?
(c) Calcular L^{\prime \prime}(t). Interpretar a resposta dada.
(d) Mostrar que L^{\prime \prime}<0 se b>0.
(e) O que ocorre se t \longrightarrow \infty ?
(a) L^{\prime}(t)=b c e^{-c t}. Representa a taxa de crescimento da criança no instante t.
(b) L^{\prime}(t)=b c e^{-c t} \neq 0, \forall t. Assim, a função L(t) não tem máximo entre ( 0, \infty ).
(c) Derivada segunda: L^{\prime \prime}(t)=-b c^{2} e^{-c t}. Se b>0 \Rightarrow L^{\prime \prime}(t)=-b c^{2} e^{-c t}<0, \forall t. Ou
seja, a taxa de crescimento da criança durante os anos vai diminuindo conforme ela vai crescendo, o que corresponde com o normalmente observado. Porém, se b<0 \Rightarrow L^{\prime \prime}(t)= -b c^{2} e^{-c t}>0, \forall t o que corresponde ao efeito contrário.
(d) O sinal de L^{\prime \prime}(t)=-b c^{2} e^{-c t} depende exclusivamente de b. Assim, se b>0 \Rightarrow L^{\prime \prime}(t)=-b c^{2} e^{-c t}<0, \forall t. Isto é, a velocidade de crescimento é decrescente, durante a vida a velocidade com que crescemos decresce.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
L(t)=a + b\bigl(1-e^{-c\,t}\bigr),
onde a, b e c são constantes positivas, e pede:
– (a) a primeira derivada L'(t) e interpretação;
– (b) existência de ponto de máximo;
– (c) a segunda derivada L''(t) e interpretação;
– (d) mostrar que, se b>0, então L''(t)<0;
– (e) o comportamento de L(t) quando t\to\infty.
Para resolver vamos usar regras básicas de derivação de exponencial e limites.

Passo 2

Derivamos \,L(t)=a + b - b\,e^{-c\,t}. A constante some e, para a parte exponencial, usamos
\frac{d}{dt}\bigl(e^{-c\,t}\bigr) = -c\,e^{-c\,t}.
Logo,
L'(t) = 0 + 0 - b\bigl(-c\,e^{-c\,t}\bigr) = b\,c\,e^{-c\,t}.
Interpretação: \,L'(t) é a taxa instantânea de crescimento da criança no tempo t. Como b,c>0, ela é positiva, indicando que a criança sempre cresce, mas decresce com o tempo porque e^{-c\,t} cai.

Passo 3

Para ter ponto de máximo precisamos achar onde L'(t)=0. Mas
L'(t)=b\,c\,e^{-c\,t}>0 \quad\forall\,t\ge0,
pois b,c,e^{-c\,t} são positivos. Portanto não há ponto de máximo (a função é estritamente crescente).

Passo 4

Derivando L'(t)=b\,c\,e^{-c\,t} mais uma vez, obtemos
L''(t) = b\,c \cdot \frac{d}{dt}\bigl(e^{-c\,t}\bigr) = b\,c\bigl(-c\,e^{-c\,t}\bigr) = -b\,c^{2}\,e^{-c\,t}.
Interpretação: \,L''(t) mede a concavidade de L. Como é negativo (para b>0), diz que a taxa de crescimento L'(t) está diminuindo — ou seja, a criança cresce cada vez mais devagar.

Passo 5

Note que em
L''(t)=-b\,c^{2}\,e^{-c\,t}
os termos b, c^2 e e^{-c\,t} são todos positivos se b>0. Logo
L''(t)<0 \quad\forall\,t\ge0,
o que confirma rigorosamente a concavidade para baixo quando b>0.

Passo 6

Para t\to\infty, temos e^{-c\,t}\to0. Assim
L(t) = a + b\bigl(1-e^{-c\,t}\bigr) \;\longrightarrow\; a + b\bigl(1-0\bigr) = a + b.
Isto mostra que L(t) tende a um valor limite a+b, um nível de estatura assintótico.

Resposta

(a) \displaystyle L'(t)=b\,c\,e^{-c\,t}. É a taxa instantânea de crescimento, positiva e decrescente.
(b) Não, L'(t)>0 para todo t, logo não há máximo local.
(c) \displaystyle L''(t)=-b\,c^{2}\,e^{-c\,t}. Mede a concavidade; como é negativo, diz que a taxa de crescimento diminui.
(d) Se b>0, então \,L''(t)=-b\,c^{2}\,e^{-c\,t}<0 para todo t.
(e) \displaystyle \lim_{t\to\infty}L(t)=a+b.

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