A função
é produto interno?, onde
e
pertence
e
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma função definida por
, onde
e
são vetores em
e
é a matriz
. A pergunta é: essa função é um produto interno? Para descobrir isso, precisamos lembrar o que caracteriza um produto interno na matemática.
Passo 2
Um produto interno precisa satisfazer três propriedades principais:
- Simetria:
- Linearidade: É linear em cada um dos argumentos.
- Definido positivo:
para qualquer
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a função dada.
Passo 3
Primeiro, simetria. Olhando para a função
, e comparando com
. Como a matriz
é simétrica (ou seja,
), temos que
. Portanto, a simetria está satisfeita.
Passo 4
Segundo, a linearidade. A função
é linear em cada argumento porque envolve apenas multiplicação e soma dos elementos dos vetores
e
com os coeficientes da matriz
. Isso segue diretamente das propriedades da multiplicação matricial. Então, a linearidade também está OK.
Passo 5
Agora, vamos verificar se a função é definida positiva. Para isso, precisamos que
para todo vetor
.
Vamos calcular isso:
Para que isso seja sempre positivo, a matriz
precisa ser definida positiva, o que significa que todos os seus autovalores devem ser positivos. Uma maneira rápida de verificar isso é calculando o determinante e os traços da matriz:
- Determinante:
- Como o determinante é negativo, isso indica que a matriz não é definida positiva.
Passo 6
Já que a matriz
não é definida positiva (o determinante é negativo), existe pelo menos um vetor
tal que
. Isso viola a propriedade de ser definido positivo.
Resposta
Não, a função
não é um produto interno porque a matriz
não é definida positiva.