A função lang<= X, Yrang<==X^top A Y é produto interno?, onde X e Y pertence a R^2 e A=[ll1 & 3 3 & 6].

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma função definida por 1 & 3 3 & 6, onde e são vetores em e é a matriz . A pergunta é: essa função é um produto interno? Para descobrir isso, precisamos lembrar o que caracteriza um produto interno na matemática.

Passo 2

Um produto interno precisa satisfazer três propriedades principais:
  1. Simetria:
  2. Linearidade: É linear em cada um dos argumentos.
  3. Definido positivo: para qualquer
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a função dada.

Passo 3

Primeiro, simetria. Olhando para a função , e comparando com . Como a matriz é simétrica (ou seja, ), temos que . Portanto, a simetria está satisfeita.

Passo 4

Segundo, a linearidade. A função é linear em cada argumento porque envolve apenas multiplicação e soma dos elementos dos vetores e com os coeficientes da matriz . Isso segue diretamente das propriedades da multiplicação matricial. Então, a linearidade também está OK.

Passo 5

Agora, vamos verificar se a função é definida positiva. Para isso, precisamos que lang<= X, Xrang<= = x1 & x2 1 & 3 3 & 6 x1 x2 = 1 cdot x1^2 + 6 cdot x1x2 + 6 cdot x2^2 para todo vetor .
Vamos calcular isso:
Para que isso seja sempre positivo, a matriz precisa ser definida positiva, o que significa que todos os seus autovalores devem ser positivos. Uma maneira rápida de verificar isso é calculando o determinante e os traços da matriz:
  • Determinante:
  • Como o determinante é negativo, isso indica que a matriz não é definida positiva.

Passo 6

Já que a matriz não é definida positiva (o determinante é negativo), existe pelo menos um vetor tal que . Isso viola a propriedade de ser definido positivo.

Resposta

Não, a função não é um produto interno porque a matriz não é definida positiva.

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