A função de Morse 
  é uma boa aproximação para a energia potencial de uma molécula diatômica onde 
  está associado à energia de dissociação da molécula. Encontre uma expressão para a energia do fóton absorvido (ou emitido) por uma molécula diatômica descrita por um potencial de Morse para uma transição onde 
  e para 
 .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a função de Morse, que é usada pra descrever a energia potencial de uma molécula diatômica. O que a gente precisa encontrar é a energia de um fóton que a molécula absorve ou emite quando ela faz uma transição de estado vibracional com mudança de nível quântico 
  ou 
 . Para isso, vamos precisar entender os níveis de energia da molécula conforme a função de Morse e calcular a diferença entre eles.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que na função de Morse, a energia dos níveis vibracionais (
 ) é dada por uma expressão específica. A fórmula geral para os níveis de energia vibracional na função de Morse é:
Aqui:
- 
é a constante de Planck reduzida.  - 
é a frequência vibracional da molécula.  - 
é o número quântico vibracional (inteiro não negativo).  - 
é a constante de anharmonicidade, que mostra o quanto a molécula se afasta do comportamento harmônico.  
Essa fórmula já leva em conta a energia de dissociação 
  da molécula.
Passo 3
Agora, para encontrar a energia do fóton absorvido ou emitido durante uma transição vibracional, a gente precisa calcular a diferença de energia entre os dois níveis envolvidos na transição. Ou seja, se a molécula está mudando do nível 
  para 
 , a energia do fóton (
 ) será:
Vamos calcular isso para os dois casos pedidos: 
  e 
 .
Passo 4
Vamos começar com 
 . Substituindo na fórmula:
A diferença será:
Calculando essa diferença:
Portanto:
Simplificando:
Passo 5
Agora, para 
 , seguimos o mesmo processo. Calculamos a energia do nível 
 :
A diferença de energia será:
Calculando a diferença dos quadrados:
Então:
Simplificando:
Resposta
A energia do fóton absorvido ou emitido para a transição 
  é:
E para a transição 
 , a energia do fóton é: