A função de onda radial para o orbital
do átomo de hidrogênio é
Calcule a distância mais provável do elétron em relação ao núcleo atômico.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular a distância mais provável do elétron em relação ao núcleo no orbital
do átomo de hidrogênio. Aqui, vamos usar conceitos de funções de onda e probabilidade na mecânica quântica. Para isso, a gente precisa entender como a função de onda radial se relaciona com a probabilidade de encontrar o elétron a uma certa distância do núcleo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a distância mais provável é o valor de
que maximiza a densidade de probabilidade
. A densidade de probabilidade é dada por:
Aqui,
é a função de onda radial para o orbital
.
Passo 3
Nosso objetivo é encontrar o valor de
que maximiza
. Para isso, vamos derivar
em relação a
e igualar a derivada a zero:
Esse é o ponto onde a função
atinge seu máximo.
Passo 4
Vamos começar calculando
:
Simplificando isso pode ficar bem complicado, então vamos focar em derivar a expressão de forma mais manejável.
Passo 5
Para encontrar a derivada, vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia. Porém, para simplificar, podemos ignorar as constantes que não dependem de
, já que estamos interessados em encontrar o ponto onde a derivada é zero.
Portanto, consideramos apenas a parte que varia com
:
Passo 6
Agora, vamos derivar
em relação a
:
Aplicando a derivada, temos:
Isso fica meio pesado, mas podemos simplificar dividindo todos os termos por
:
Passo 7
Simplificando a equação:
Somando os termos com
:
Passo 8
Agora, isolamos
:
Simplificando:
Resposta
A distância mais provável do elétron em relação ao núcleo é aproximadamente
.