Se a função com valores vetoriais \mathbf{R} e a função com valores reais f forem ambas diferenciáveis em um intervalo e f(t) \neq 0 no intervalo, prove que \mathbf{R} / \boldsymbol{f} também será diferenciável no intervalo e
D_{t}\left[\frac{\mathbf{R}(t)}{f(t)}\right]=\frac{f(t) \mathbf{R}^{\prime}(t)-f^{\prime}(t) \mathbf{R}(t)}{[f(t)]^{2}}

Passo 1

O enunciado afirma que temos uma função vetorial \mathbf{R}\colon I\to\mathbb{R}^n e uma função real f\colon I\to\mathbb{R}, ambas diferenciáveis num intervalo I, e que f(t)\neq0 para todo t\in I. Precisamos mostrar que a função
t\;\longmapsto\;\frac{\mathbf{R}(t)}{f(t)}
é diferenciável em I e satisfaz a fórmula do quociente
D_{t}\!\Bigl[\frac{\mathbf{R}(t)}{f(t)}\Bigr] =\frac{f(t)\,\mathbf{R}'(t)\;-\;f'(t)\,\mathbf{R}(t)}{\bigl[f(t)\bigr]^{2}}.

Passo 2

Escrevemos o quociente como produto de uma função vetorial por uma escalar, introduzindo
g(t)\;=\;\frac1{f(t)}\;=\;f(t)^{-1}.
Assim
\frac{\mathbf{R}(t)}{f(t)} \;=\;\mathbf{R}(t)\,\bigl[g(t)\bigr].

Passo 3

Como f é diferenciável em I e f(t)\neq0, a recíproca g(t)=f(t)^{-1} também é diferenciável em I. De fato, pela regra da cadeia e da potência temos
g'(t) =\frac{d}{dt}\bigl[f(t)^{-1}\bigr] =-1\cdot f(t)^{-2}\cdot f'(t) =-\frac{f'(t)}{\bigl[f(t)\bigr]^2}.

Passo 4

Aplicamos agora a regra do produto entre a função vetorial \mathbf{R}(t) e o escalar g(t). Como ambas são diferenciáveis,
D_{t}\bigl[\mathbf{R}(t)\,g(t)\bigr] =\mathbf{R}'(t)\,g(t)\;+\;\mathbf{R}(t)\,g'(t).

Passo 5

Substituindo g(t)=1/f(t) e g'(t)=-f'(t)/[f(t)]^2 na expressão acima, obtemos
D_{t}\!\Bigl[\frac{\mathbf{R}(t)}{f(t)}\Bigr] =\mathbf{R}'(t)\,\frac1{f(t)} \;+\;\mathbf{R}(t)\,\Bigl(-\frac{f'(t)}{[f(t)]^2}\Bigr) =\frac{f(t)\,\mathbf{R}'(t)\;-\;f'(t)\,\mathbf{R}(t)}{[f(t)]^2}.

Resposta

D_{t}\!\Bigl[\frac{\mathbf{R}(t)}{f(t)}\Bigr] =\frac{f(t)\,\mathbf{R}'(t)\;-\;f'(t)\,\mathbf{R}(t)}{\bigl[f(t)\bigr]^{2}}.

Exercícios relacionados