Se a função com valores vetoriais
e a função com valores reais
forem ambas diferenciáveis em um intervalo e
no intervalo, prove que
também será diferenciável no intervalo e
Passo 1
O enunciado afirma que temos uma função vetorial
e uma função real
, ambas diferenciáveis num intervalo
, e que
para todo
. Precisamos mostrar que a função
é diferenciável em
e satisfaz a fórmula do quociente
Passo 2
Escrevemos o quociente como produto de uma função vetorial por uma escalar, introduzindo
Assim
Passo 3
Como
é diferenciável em
e
, a recíproca
também é diferenciável em
. De fato, pela regra da cadeia e da potência temos
Passo 4
Aplicamos agora a regra do produto entre a função vetorial
e o escalar
. Como ambas são diferenciáveis,
Passo 5
Substituindo
e
na expressão acima, obtemos