1. A função velocidade de um determinado veículo é dada por v(t)=t^{2}-2 t+4, t em segundos. Encontre a função posição s(t), sendo que em s(0)=0.
    s(t)=\int v(t) d t
    s(t)=\int\left(t^{2}-2 t+4\right) d t
    s(t)=\frac{t^{3}}{3}-t^{2}+4 t+k
    \operatorname{Em} s(0)=0 \Rightarrow k=0

Passo 1

O enunciado dá a velocidade do veículo como v(t)=t^{2}-2t+4 e pede a posição s(t) sabendo que s(0)=0. Para obter s(t) basta usar o conceito de que a posição é a antiderivada da velocidade, ou seja, integrar v(t) em relação a t.

Passo 2

Calculamos a integral
s(t)=\int v(t)\,dt = \int\bigl(t^{2}-2t+4\bigr)\,dt.
Aplicando a regra de potência \int t^{n}dt = \tfrac{t^{n+1}}{n+1} em cada termo, obtemos
s(t)=\frac{t^{3}}{3}-t^{2}+4t + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 3

Usamos a condição inicial s(0)=0. Substituindo t=0 na expressão de s(t), vem
0 = s(0)=\frac{0^{3}}{3}-0^{2}+4\cdot 0 + C \quad\Longrightarrow\quad C=0.
Logo, a constante some.

Resposta

s(t)=\frac{t^{3}}{3}-t^{2}+4t.

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