Uma função w=f(x, y) com segundas derivadas parciais contínuas que satisfaz a Equação de Laplace
\frac{\partial^{2} w}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} w}{\partial y^{2}}=0
é chamada harmônica. Analogamente, uma função w=f(x, y, z) com segundas derivadas parciais contínuas que satisfaz a Equação de Laplace
\frac{\partial^{2} w}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} w}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} w}{\partial z^{2}}=0
é chamada harmônica. Quais das funções abaixo são harmônicas?
(a) f(x, y)=x^{3}-3 x y^{2}
(b) f(x, y)=e^{x} \operatorname{sen}(y)+e^{y} \cos (y)
(c) $f(x, y, z)=\left(x{2}+y{2}+z{2}\right){-1 / 2}

Passo 1

O enunciado pede: determinar quais das funções abaixo são harmônicas, isto é, quais satisfazem a Equação de Laplace apropriada no domínio onde estão definidas.
As informações dadas:
  • A equação de Laplace no plano é \frac{\partial^{2} w}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} w}{\partial y^{2}}=0.
  • A equação de Laplace no espaço é \frac{\partial^{2} w}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} w}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} w}{\partial z^{2}}=0.
As funções que devemos testar:
(a) \;f(x,y)=x^{3}-3xy^{2}.
(b) \;f(x,y)=e^{x}\sin(y)+e^{y}\cos(y).
(c) \;f(x,y,z)=\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)^{-1/2}.
O objetivo de cada item é calcular a soma das segundas derivadas parciais (a Laplaciana) e verificar se ela é identicamente zero (no domínio onde a função está definida).

Passo 2

Lembrete rápido (ferramentas que vou usar e por que):
  • Para verificar se uma função é harmônica basta calcular a laplaciana \Delta f e ver se \Delta f\equiv 0.
  • Para funções de duas variáveis \Delta f=\dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\dfrac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}.
  • Para funções de três variáveis \Delta f=\dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\dfrac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}+\dfrac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}}.
  • Vou aplicar regras básicas de derivação parcial: derivada de potências, da exponencial, de seno e cosseno, e a regra da cadeia quando aparecer \,r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\,.
Agora calculo cada item passo a passo.

Passo 3

Item (a): \;f(x,y)=x^{3}-3xy^{2}.
Primeiro encontro as derivadas primeiras em relação a x e y:
\frac{\partial f}{\partial x}=3x^{2}-3y^{2}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}=-6xy.
Explicando rapidamente: para \partial/\partial x trate y como constante; a derivada de x^3 é 3x^2 e de -3xy^2 em relação a x é -3y^2. Para \partial/\partial y a derivada de -3xy^2 em relação a y é -3x\cdot 2y=-6xy.
Agora as segundas derivadas:
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(3x^{2}-3y^{2}\bigr)=6x,
\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(-6xy\bigr)=-6x.
Somando as segundas derivadas (a laplaciana):
\Delta f=\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=6x+(-6x)=0.
Conclusão do cálculo: a laplaciana é identicamente zero para todo (x,y). Logo a função é harmônica em \mathbb{R}^{2}.
Comentário didático curto: essa função é na verdade a parte real da (x+iy)^{3} (polinômio harmônico), o que é uma boa maneira de reconhecer harmônicas polinomiais — mas o teste direto pela laplaciana é o procedimento que se aplica sempre.

Passo 4

Item (b): \;f(x,y)=e^{x}\sin(y)+e^{y}\cos(y).
Vou separar os dois termos e calcular segundas derivadas.
Para o termo u(x,y)=e^{x}\sin(y):
u_x=\frac{\partial}{\partial x}(e^{x}\sin y)=e^{x}\sin y, \qquad u_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}(e^{x}\sin y)=e^{x}\sin y.
u_y=\frac{\partial}{\partial y}(e^{x}\sin y)=e^{x}\cos y, \qquad u_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}(e^{x}\cos y)=-e^{x}\sin y.
Somando para u: u_{xx}+u_{yy}=e^{x}\sin y + (-e^{x}\sin y)=0.
Portanto o primeiro termo contribui zero para a laplaciana (intuitivamente porque e^{x}\sin y é separável e \partial_{xx} e \partial_{yy} se cancelam aqui).
Agora para o termo v(x,y)=e^{y}\cos(y) (observe que não depende de x):
v_x=0,\qquad v_{xx}=0.
Calculo as derivadas em y:
v_y=\frac{\partial}{\partial y}(e^{y}\cos y)=e^{y}\cos y - e^{y}\sin y = e^{y}(\cos y - \sin y).
Derivando novamente:
v_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{y}(\cos y - \sin y)\bigr) = e^{y}(\cos y - \sin y) + e^{y}(-\sin y - \cos y).
Agrupando termos:
v_{yy}=e^{y}\bigl((\cos y - \sin y) + (-\sin y - \cos y)\bigr) = e^{y}(-2\sin y) = -2e^{y}\sin y.
Agora a laplaciana total:
\Delta f = (u_{xx}+u_{yy}) + (v_{xx}+v_{yy}) = 0 + 0 + (-2e^{y}\sin y)= -2e^{y}\sin y.
Isso não é identicamente zero (salvo em pontos isolados onde \sin y=0). Logo, em geral, f não é harmônica em \mathbb{R}^{2}.
Comentário didático: aqui foi útil decompor a função em parcelas que dependem de variáveis distintas e aplicar regras básicas de derivação (produto e exponencial). A presença do segundo termo e^{y}\cos y produz uma segunda derivada em y que não é cancelada por nada em x, por isso a laplaciana não anula.

Passo 5

Item (c): \;f(x,y,z)=\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)^{-1/2}.
Defina r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}. Então \;f(x,y,z)=\varphi(r) com \varphi(r)=r^{-1}. Funções radiais assim dependem apenas de r. Há uma fórmula útil (que vou deduzir passo a passo) para a laplaciana de uma função radial em \mathbb{R}^{3}:
Primeiro, pela regra da cadeia, para i\in\{x,y,z\}:
\frac{\partial f}{\partial i}=\varphi'(r)\frac{\partial r}{\partial i}=\varphi'(r)\frac{i}{r},
porque \partial r/\partial x = x/r, etc.
Derivando de novo (aplicar produto e regra da cadeia):
\frac{\partial^{2} f}{\partial i^{2}} = \varphi''(r)\frac{i^{2}}{r^{2}} + \varphi'(r)\frac{\partial}{\partial i}\Bigl(\frac{i}{r}\Bigr).
Agora, compute \dfrac{\partial}{\partial i}\!\bigl(\dfrac{i}{r}\bigr)=\dfrac{1}{r}-\dfrac{i^{2}}{r^{3}} (é bom verificar: \partial(i)/\partial i=1 e \partial(1/r)/\partial i = -(1/r^{2})(\partial r/\partial i)=-(1/r^{2})(i/r)=-i/r^{3}; multiplicando e somando dá o resultado).
Somando as três segundas derivadas ( i=x,y,z):
\Delta f=\sum_{i=x,y,z}\frac{\partial^{2} f}{\partial i^{2}} = \varphi''(r)\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{r^{2}} + \varphi'(r)\sum_{i}\Bigl(\frac{1}{r}-\frac{i^{2}}{r^{3}}\Bigr).
Usando x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2} e somando os termos no segundo somatório:
\sum_{i}\Bigl(\frac{1}{r}-\frac{i^{2}}{r^{3}}\Bigr)=\frac{3}{r}-\frac{r^{2}}{r^{3}}=\frac{3}{r}-\frac{1}{r}=\frac{2}{r}.
Portanto obtemos a fórmula radial bem conhecida em \mathbb{R}^{3}:
\Delta f = \varphi''(r) + \frac{2}{r}\,\varphi'(r).
Agora substitua \varphi(r)=r^{-1}. Calcula-se:
\varphi'(r) = -r^{-2},\qquad \varphi''(r)=2r^{-3}.
Substituindo na fórmula:
\Delta f = 2r^{-3} + \frac{2}{r}\bigl(-r^{-2}\bigr) = 2r^{-3} - 2r^{-3} = 0,
desde que r>0 (isto é, desde que (x,y,z)\neq(0,0,0)). Conclusão: \;f(x,y,z)=(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{-1/2} satisfaz \Delta f=0 em todo o domínio \mathbb{R}^{3}\setminus\{(0,0,0)\}. No ponto r=0 a função é singular (não está definida) e a laplaciana clássica não se aplica; em sentido de distribuições \Delta(1/r) envolve uma massa concentrada no zero, mas para a questão de harmonicidade clássica dizemos que f é harmônica fora da origem.

Passo 6

Resumo pedagógico rápido — como decidir na prova:
  • Calcule explicitamente \Delta f. Para polinômios e funções separáveis exponencial/trigonal é geralmente direto calcular as segundas derivadas.
  • Para funções radiais use a fórmula \Delta(\varphi(r))=\varphi''(r)+\dfrac{2}{r}\varphi'(r) em \mathbb{R}^{3} (derive-a rapidamente na folha, como fiz acima, se não decorou).
  • Verifique sempre o domínio onde a função está definida (ex.: r=0 é um ponto problemático para 1/r).
Força aí — você já sabe como fazer esses tipos de verificação na prova: calcule \Delta f e veja se é zero no domínio pedido.

Resposta

(a) Harmônica.
(b) Não é harmônica.
(c) Harmônica em \mathbb{R}^{3}\setminus\{(0,0,0)\} (não definida em (0,0,0)).