Uma função
com segundas derivadas parciais contínuas que satisfaz a Equação de Laplace
é chamada harmônica. Analogamente, uma função
com segundas derivadas parciais contínuas que satisfaz a Equação de Laplace
é chamada harmônica. Quais das funções abaixo são harmônicas?
(a)
(b)
(c) $f(x, y, z)=\left(x{2}+y{2}+z{2}\right){-1 / 2}
(a)
(b)
(c) $f(x, y, z)=\left(x{2}+y{2}+z{2}\right){-1 / 2}
Passo 1
O enunciado pede: determinar quais das funções abaixo são harmônicas, isto é, quais satisfazem a Equação de Laplace apropriada no domínio onde estão definidas.
As informações dadas:
- A equação de Laplace no plano é
- A equação de Laplace no espaço é
As funções que devemos testar:
(a) .
(b) .
(c) .
(a)
(b)
(c)
O objetivo de cada item é calcular a soma das segundas derivadas parciais (a Laplaciana) e verificar se ela é identicamente zero (no domínio onde a função está definida).
Passo 2
Lembrete rápido (ferramentas que vou usar e por que):
- Para verificar se uma função é harmônica basta calcular a laplaciana
e ver se . - Para funções de duas variáveis
. - Para funções de três variáveis
. - Vou aplicar regras básicas de derivação parcial: derivada de potências, da exponencial, de seno e cosseno, e a regra da cadeia quando aparecer
.
Agora calculo cada item passo a passo.
Passo 3
Item (a):
.
Primeiro encontro as derivadas primeiras em relação a
e
:
Explicando rapidamente: para
trate
como constante; a derivada de
é
e de
em relação a
é
. Para
a derivada de
em relação a
é
.
Agora as segundas derivadas:
Somando as segundas derivadas (a laplaciana):
Conclusão do cálculo: a laplaciana é identicamente zero para todo
. Logo a função é harmônica em
.
Comentário didático curto: essa função é na verdade a parte real da
(polinômio harmônico), o que é uma boa maneira de reconhecer harmônicas polinomiais — mas o teste direto pela laplaciana é o procedimento que se aplica sempre.
Passo 4
Item (b):
.
Vou separar os dois termos e calcular segundas derivadas.
Para o termo
:
Somando para
:
Portanto o primeiro termo contribui zero para a laplaciana (intuitivamente porque
é separável e
e
se cancelam aqui).
Agora para o termo
(observe que não depende de
):
Calculo as derivadas em
:
Derivando novamente:
Agrupando termos:
Agora a laplaciana total:
Isso não é identicamente zero (salvo em pontos isolados onde
). Logo, em geral,
não é harmônica em
.
Comentário didático: aqui foi útil decompor a função em parcelas que dependem de variáveis distintas e aplicar regras básicas de derivação (produto e exponencial). A presença do segundo termo
produz uma segunda derivada em
que não é cancelada por nada em
, por isso a laplaciana não anula.
Passo 5
Item (c):
Defina
. Então
com
. Funções radiais assim dependem apenas de
. Há uma fórmula útil (que vou deduzir passo a passo) para a laplaciana de uma função radial em
:
Primeiro, pela regra da cadeia, para
:
porque
, etc.
Derivando de novo (aplicar produto e regra da cadeia):
Agora, compute
(é bom verificar:
e
; multiplicando e somando dá o resultado).
Somando as três segundas derivadas (
):
Usando
e somando os termos no segundo somatório:
Portanto obtemos a fórmula radial bem conhecida em
:
Agora substitua
. Calcula-se:
Substituindo na fórmula:
desde que
(isto é, desde que
). Conclusão:
satisfaz
em todo o domínio
. No ponto
a função é singular (não está definida) e a laplaciana clássica não se aplica; em sentido de distribuições
envolve uma massa concentrada no zero, mas para a questão de harmonicidade clássica dizemos que
é harmônica fora da origem.
Passo 6
Resumo pedagógico rápido — como decidir na prova:
- Calcule explicitamente
. Para polinômios e funções separáveis exponencial/trigonal é geralmente direto calcular as segundas derivadas. - Para funções radiais use a fórmula
em (derive-a rapidamente na folha, como fiz acima, se não decorou). - Verifique sempre o domínio onde a função está definida (ex.:
é um ponto problemático para ).
Força aí — você já sabe como fazer esses tipos de verificação na prova: calcule
e veja se é zero no domínio pedido.
Resposta
(a) Harmônica.
(b) Não é harmônica.
(c) Harmônica em (não definida em
).
(b) Não é harmônica.
(c) Harmônica em