(FUNCERN/IFRN, Edital 05/2014) A Terceira Lei de Kepler estabelece que o quadrado do período orbital de um planeta (
), pertencente ao Sistema Solar, é diretamente proporcional ao cubo da sua distância média ao Sol.
Considerando o caso hipotético em que um planeta de massa
tenha uma órbita circular de raio
, em torno do Sol, que por sua vez tem massa
, concentrada no centro dessa órbita e
é a constante de gravitação universal, a equação que representa corretamente essa proporção é:
(a)
.
(b)
.
(c)
.
(d)
.
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
O enunciado fala da Terceira Lei de Kepler, que diz que o quadrado do período orbital
, é proporcional ao cubo do raio da órbita
. Para obter a constante de proporcionalidade, vamos modelar o planeta de massa
em órbita circular de raio
ao redor do Sol de massa
, usando a lei da gravitação de Newton e a condição de movimento circular uniforme.
Passo 2
A força gravitacional que atua no planeta é
Em órbita circular com velocidade angular
, há força centrípeta
Como a gravitação fornece toda a centrípeta, igualamos
Cancelando
de ambos os lados e isolando
, vem
Passo 3
Sabendo que o período
se relaciona com
por
temos
Substituindo na expressão de
,
Passo 4
Observando as alternativas, vemos que
,
logo a forma correta é
logo a forma correta é
Resposta
(b)