(FUNCERN/IFRN, Edital 05/2014) A Terceira Lei de Kepler estabelece que o quadrado do período orbital de um planeta ( T ), pertencente ao Sistema Solar, é diretamente proporcional ao cubo da sua distância média ao Sol.
Considerando o caso hipotético em que um planeta de massa m tenha uma órbita circular de raio R, em torno do Sol, que por sua vez tem massa M, concentrada no centro dessa órbita e G é a constante de gravitação universal, a equação que representa corretamente essa proporção é:
(a) \frac{T^{2}}{R^{3}}=\frac{(4 \pi)^{2}}{G M}.
(b) \frac{T^{2}}{R^{3}}=\frac{(2 \pi)^{2}}{G M}.
(c) \frac{T^{2}}{R^{3}}=\frac{(4 \pi)^{2}}{G m}.
(d) \frac{T^{2}}{R^{3}}=\frac{(2 \pi)^{2}}{G m}.

Passo 1

O enunciado fala da Terceira Lei de Kepler, que diz que o quadrado do período orbital \,T^2, é proporcional ao cubo do raio da órbita \,R^3. Para obter a constante de proporcionalidade, vamos modelar o planeta de massa m em órbita circular de raio R ao redor do Sol de massa M, usando a lei da gravitação de Newton e a condição de movimento circular uniforme.

Passo 2

A força gravitacional que atua no planeta é
F_{\text{grav}} = \frac{G\,M\,m}{R^2}.
Em órbita circular com velocidade angular \omega, há força centrípeta
F_{\text{cent}}=m\,R\,\omega^2.
Como a gravitação fornece toda a centrípeta, igualamos
m\,R\,\omega^2 = \frac{G\,M\,m}{R^2}.
Cancelando m de ambos os lados e isolando \omega^2, vem
\omega^2 = \frac{G\,M}{R^3}.

Passo 3

Sabendo que o período T se relaciona com \omega por
\omega = \frac{2\pi}{T},
temos
\omega^2 = \frac{4\pi^2}{T^2}.
Substituindo na expressão de \omega^2,
\frac{4\pi^2}{T^2} = \frac{G\,M}{R^3} \quad\Longrightarrow\quad \frac{T^2}{R^3} = \frac{4\pi^2}{G\,M}.

Passo 4

Observando as alternativas, vemos que (2\pi)^2 = 4\pi^2,
logo a forma correta é
\frac{T^2}{R^3} = \frac{(2\pi)^2}{G\,M}.

Resposta

(b)

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