Para as funções
abaixo indicadas, mostre que
existe e calcule o seu valor, onde
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função de duas variáveis,
, definida para todos os pontos
exceto
. Precisamos mostrar que o limite dessa função existe quando
se aproxima de
e encontrar o valor desse limite. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como limites e propriedades das funções contínuas.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece com a expressão dentro do cosseno, ou seja,
, quando
se aproxima de
. Para facilitar, podemos converter para coordenadas polares, onde
e
. Substituindo na expressão:
Como
tende a 0 quando
se aproxima de
, e
é limitado (sempre entre -2 e 2), temos que a expressão
também tende a 0.
Passo 3
Agora que sabemos que
tende a 0, podemos usar a propriedade da continuidade da função cosseno. A função
é contínua em todos os pontos, inclusive em
. Isso significa que:
Substituindo
pela nossa expressão que tende a 0, temos:
Resposta
O limite existe e é igual a
.