As funções são linearmente independentes?
cos^2(x) sen^2(x)

Passo 1

Então, a gente tem um exercício perguntando se as funções e são linearmente independentes. Isso está relacionado ao estudo de independência linear em funções. A gente vai precisar lembrar que duas funções são linearmente independentes se nenhuma delas pode ser escrita como uma combinação linear da outra.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ser linearmente independente. Se tivermos duas funções, digamos f(x) e g(x), elas são linearmente independentes se a única solução para a equação for todos os valores de x for e .

Passo 3

Vamos aplicar isso às nossas funções e . Queremos ver se existe algum número e , diferente de zero, que faça para todo x.

Passo 4

Sabemos que . Isso significa que . Vamos tentar ver se pode ser escrita como uma combinação linear de .

Passo 5

Substituindo, temos . Podemos reescrever isso como , ou seja, .

Passo 6

Isso mostra que existe uma relação linear entre e que não envolve apenas múltiplos escalares. Porém, para serem linearmente dependentes, precisaríamos de uma relação onde uma função é um múltiplo escalar da outra, o que não é o caso aqui.

Passo 7

Portanto, como não conseguimos expressar uma função como um múltiplo escalar da outra, concluímos que as funções e são linearmente independentes.

Resposta

As funções e são linearmente independentes.

Exercícios relacionados