Para as funções a seguir, encontre seu domínio e imagem e descreva suas curvas de nível.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
e pede três coisas:
- encontrar o domínio de
; - encontrar a imagem (conjunto de valores) de
; - descrever as curvas de nível (conjuntos
para cada constante ).
Informações fornecidas: a expressão algébrica
. Não há restrição adicional no enunciado (como raízes, frações com denominador que pode zerar, log, etc.), então só trabalhamos com essa definição.
Passo 2
O que significam “domínio”, “imagem” e “curvas de nível” (explicação didática):
- Domínio: é o conjunto de todos os pares
para os quais a expressão que define faz sentido e resulta num número real. Aqui preciso verificar se há alguma operação proibida (divisão por zero, raiz de número negativo, log de número não positivo etc.). - Imagem: é o conjunto de todos os valores reais
que a função efetivamente assume, ou seja, . Uma forma prática de achar a imagem é, dado um arbitrário, tentar resolver e ver se existe algum par que realize isso. - Curvas de nível: para cada constante
, a curva de nível é o conjunto . Geometricamente, é o traço no plano onde o produto vale . Vou estudar separadamente os casos e .
Passo 3
Determinar o domínio:
- A expressão
é o produto de dois números reais. Não há operação que possa falhar para valores reais quaisquer (nenhuma raiz par de número negativo, nenhuma divisão por zero, nenhum logaritmo, etc.). - Portanto qualquer par
é admissível.
Logo o domínio é.
Passo 4
Determinar a imagem (conjunto de valores possíveis):
- Queremos saber quais
admitem solução em de . - Dado um
qualquer, uma construção simples mostra existência: escolher e dá . Assim para todo existe pelo menos um par com . - Alternativamente, para
pode-se resolver , então sempre existe solução (basta escolher qualquer ). - Conclusão: a imagem de
é todo .
Passo 5
Descrever as curvas de nível, caso geral
:
- A equação da curva de nível de nível
é
- Para
: podemos escrever
Isso é uma hipérbole equilátera (também chamada de hipérbole retangular ou hipérbole de equação
), centrada na origem. Uma forma útil de pensar: parametrizamos por
e
com
. Características importantes:
- Quando
as duas ramas ficam nos quadrantes primeiro e terceiro (ou seja, pontos com e de mesmo sinal). - Quando
as duas ramas ficam nos quadrantes segundo e quarto (ou seja, e de sinais opostos). - As assíntotas da hipérbole são os eixos coordenados: ao fazer
, tem-se (aproximação ao eixo ); ao fazer , tem-se (aproximação ao eixo ). Assim as rectas e funcionam como “assíntotas” no sentido de aproximação. - A hipérbole é simétrica em relação à origem: se
está na curva para , então também está (essa simetria é óbvia porque ). - Para
: a equação se fatoriza em
Portanto a curva de nível
é a união dos dois eixos coordenados: o eixo
e o eixo
(toda a reta
e toda a reta
). Geometricamente é a cruz formada pelos eixos; note que aqui a origem pertence a essa curva e é um ponto de interseção das duas retas.
Passo 6
Exemplos concretos e dicas de desenho (para a prova):
- Para
: a curva . Pontos fáceis: , , ; duas ramas em QI e QIII. - Para
: a curva . Pontos fáceis: , ; ramas em QII e QIV. - Para
: as retas e .
Dica prática para esboçar: escolha valores dee calcule ; trace os pontos e perceba a aproximação aos eixos. Lembre-se de que a imagem sendo todo significa que, perto de qualquer valor real , existe um par com — isso ajuda a entender o comportamento de .
Resposta
Domínio:
Imagem:
Curvas de nível: para são as hipérboles
(duas ramas;
em QI e QIII,
em QII e QIV); para
é a união das retas
e
.
Imagem:
Curvas de nível: para