Para as funções a seguir, encontre seu domínio e imagem e descreva suas curvas de nível.
f(x, y)=x y

Passo 1

O enunciado dá a função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} definida por f(x,y)=x y e pede três coisas:
  • encontrar o domínio de f;
  • encontrar a imagem (conjunto de valores) de f;
  • descrever as curvas de nível (conjuntos \{(x,y): f(x,y)=c\} para cada constante c).
Informações fornecidas: a expressão algébrica f(x,y)=x y. Não há restrição adicional no enunciado (como raízes, frações com denominador que pode zerar, log, etc.), então só trabalhamos com essa definição.

Passo 2

O que significam “domínio”, “imagem” e “curvas de nível” (explicação didática):
  • Domínio: é o conjunto de todos os pares (x,y) para os quais a expressão que define f faz sentido e resulta num número real. Aqui preciso verificar se há alguma operação proibida (divisão por zero, raiz de número negativo, log de número não positivo etc.).
  • Imagem: é o conjunto de todos os valores reais z que a função efetivamente assume, ou seja, \{z\in\mathbb{R}: \exists (x,y)\text{ tal que }f(x,y)=z\}. Uma forma prática de achar a imagem é, dado um z arbitrário, tentar resolver x y = z e ver se existe algum par (x,y) que realize isso.
  • Curvas de nível: para cada constante c\in\mathbb{R}, a curva de nível é o conjunto L_c=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: f(x,y)=c\}. Geometricamente, é o traço no plano onde o produto x y vale c. Vou estudar separadamente os casos c\neq0 e c=0.

Passo 3

Determinar o domínio:
  • A expressão x y é o produto de dois números reais. Não há operação que possa falhar para valores reais quaisquer (nenhuma raiz par de número negativo, nenhuma divisão por zero, nenhum logaritmo, etc.).
  • Portanto qualquer par (x,y)\in\mathbb{R}^2 é admissível.
    Logo o domínio é \mathbb{R}^2.

Passo 4

Determinar a imagem (conjunto de valores possíveis):
  • Queremos saber quais z\in\mathbb{R} admitem solução em (x,y) de x y = z.
  • Dado um z qualquer, uma construção simples mostra existência: escolher x=1 e y=z x y = 1\cdot z = z. Assim para todo z\in\mathbb{R} existe pelo menos um par (x,y)=(1,z) com f(x,y)=z.
  • Alternativamente, para x\neq0 pode-se resolver y=\dfrac{z}{x}, então sempre existe solução (basta escolher qualquer x\neq0).
  • Conclusão: a imagem de f é todo \mathbb{R}.

Passo 5

Descrever as curvas de nível, caso geral c\in\mathbb{R}:
  • A equação da curva de nível de nível c é
xy=c.
  • Para c\neq0: podemos escrever
y=\frac{c}{x},\qquad x\neq0.
Isso é uma hipérbole equilátera (também chamada de hipérbole retangular ou hipérbole de equação xy=\text{const}), centrada na origem. Uma forma útil de pensar: parametrizamos por x=t e y=\dfrac{c}{t} com t\in\mathbb{R}\setminus\{0\}. Características importantes:
  • Quando c>0 as duas ramas ficam nos quadrantes primeiro e terceiro (ou seja, pontos com x e y de mesmo sinal).
  • Quando c<0 as duas ramas ficam nos quadrantes segundo e quarto (ou seja, x e y de sinais opostos).
  • As assíntotas da hipérbole são os eixos coordenados: ao fazer x\to\pm\infty, tem-se y\to0 (aproximação ao eixo x); ao fazer x\to0^\pm, tem-se |y|\to\infty (aproximação ao eixo y). Assim as rectas x=0 e y=0 funcionam como “assíntotas” no sentido de aproximação.
  • A hipérbole é simétrica em relação à origem: se (x,y) está na curva para c, então (-x,-y) também está (essa simetria é óbvia porque (-x)(-y)=xy).
  • Para c=0: a equação xy=0 se fatoriza em
x=0\quad\text{ou}\quad y=0.
Portanto a curva de nível L_0 é a união dos dois eixos coordenados: o eixo x e o eixo y (toda a reta x=0 e toda a reta y=0). Geometricamente é a cruz formada pelos eixos; note que aqui a origem pertence a essa curva e é um ponto de interseção das duas retas.

Passo 6

Exemplos concretos e dicas de desenho (para a prova):
  • Para c=1: a curva y=1/x. Pontos fáceis: (1,1), (2,1/2), (1/2,2); duas ramas em QI e QIII.
  • Para c=-1: a curva y=-1/x. Pontos fáceis: (1,-1), (-1,1); ramas em QII e QIV.
  • Para c=0: as retas x=0 e y=0.
    Dica prática para esboçar: escolha valores de x e calcule y=c/x; trace os pontos e perceba a aproximação aos eixos. Lembre-se de que a imagem sendo todo \mathbb{R} significa que, perto de qualquer valor real z, existe um par (x,y) com xy=z — isso ajuda a entender o comportamento de f.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}^2
Imagem: \mathbb{R}
Curvas de nível: para c\neq0 são as hipérboles y=\dfrac{c}{x} (duas ramas; c>0 em QI e QIII, c<0 em QII e QIV); para c=0 é a união das retas x=0 e y=0.