(Fuvest 99) Num triângulo retângulo A B C, seja D um ponto da hipotenusa \overline{\mathrm{AC}} tal que os ângulos \mathrm{DÂB} \mathrm{e}Â A B D tenham a mesma medida. Então o valor de AD/DC é:
a) \sqrt{ } 2
b) 1 / \sqrt{ } 2
c) 2
d) 1 / 2
e) 1

Passo 1

Temos o triângulo retângulo ABC com \angle ABC=90^\circ. O ponto D pertence à hipotenusa AC e satisfaz
\angle DAB = \angle ABD.
Queremos calcular a razão \tfrac{AD}{DC}.

Passo 2

No triângulo ABD, como os ângulos em A e em B são iguais, os lados opostos também são iguais. Portanto,
BD = AD.

Passo 3

Colocando B=(0,0), A=(a,0), C=(0,c), um ponto genérico em AC é
D = \bigl(a(1-\lambda),\,c\lambda\bigr),\quad 0<\lambda<1,
de modo que
AD = \lambda\sqrt{a^2+c^2} \quad\text{e}\quad BD = \sqrt{\bigl(a(1-\lambda)\bigr)^2 + (c\lambda)^2}.
Igualando BD=AD e ao simplificar, obtém-se \lambda=\tfrac12. Assim
AD = \tfrac12\,AC \quad\text{e}\quad DC = \tfrac12\,AC
e daí
\frac{AD}{DC} = \frac{\tfrac12\,AC}{\tfrac12\,AC} = 1.

Resposta

1

Exercícios relacionados