Um gás é confinado em um cilindro com 1,25 ft de diâmetro por um êmbolo, sobre o qual repousa um contrapeso. Juntos, o êmbolo e o contrapeso possuem massa de 250 lbm . A aceleração da gravidade local é de 32,169 ft / s^2, e a pressão atmosférica é de 30,12 inHg.
Se o gás no cilindro for aquecido, ele se expande, empurrando para cima o êmbolo e o contrapeso. Se o êmbolo e o contrapeso forem erguidos em 1,7 ft, qual é o trabalho realizado pelo gás em lbf.ft? Qual é a variação da energia potencial do êmbolo e do contrapeso?

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo e identificar os conceitos que vamos precisar para resolver.
Enunciado resumido: Temos um cilindro com um êmbolo e um contrapeso que totalizam uma massa de 250 lbm. A pressão atmosférica é de 30,12 inHg. Quando o gás no cilindro é aquecido, ele se expande e empurra o êmbolo para cima por 1,7 ft. Precisamos calcular o trabalho realizado pelo gás e a variação da energia potencial do êmbolo e do contrapeso.
Conteúdos necessários:
  • Trabalho realizado por uma força constante: $ W = F \times d $
  • Energia potencial gravitacional: $ \Delta PE = m \times g \times h $
  • Conversão de unidades de pressão (de inHg para lbf/ft²)
  • Área de um círculo: $ A = \pi \times r^2 $
Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular a força que o gás exerce no êmbolo. Essa força é igual ao peso do contrapeso e do êmbolo juntos. A massa total é dada como 250 lbm, e a aceleração da gravidade é $ 32,169 , ft/s^2 $.
No entanto, em unidades imperiais, a força (peso) em libra-força (lbf) é igual à massa em libra-massa (lbm) multiplicada pela aceleração da gravidade:
32,169 , ft/s^2
Mas, considerando que 1 lbm F = m times g = 250 , lbm times 32,169 , ft/s^2 $ g $ (32,174 ft/s²) é aproximadamente 1 lbf, podemos simplificar:
times
Então, a força exercida pelo gás é de aproximadamente 250 lbf.

Passo 3

Agora, vamos calcular a área do êmbolo. O diâmetro do cilindro é de 1,25 ft, então o raio $ r $ é metade disso:
r
A área $ A $ de um círculo é dada por:
r = 1,252 = 0,625 , ft
A
Então, a área do êmbolo é aproximadamente 1,227 ft².

Passo 4

A pressão atmosférica está dada em polegadas de mercúrio (inHg), mas precisamos convertê-la para libra-força por pé quadrado (lbf/ft²) para que as unidades fiquem consistentes.
Sabemos que:
1 atm = 29,92 inHg = 2116,22 lbf/ft²
Portanto, podemos usar uma regra de três para converter 30,12 inHg para lbf/ft²:
30,12 , inHg29,92 , inHg = P2116,22 , lbf/ft^2
P = 30,1229,92 times 2116,22 approx 1,0067 times 2116,22 approx 2129,2 , lbf/ft^2
Então, a pressão atmosférica convertida é aproximadamente 2129,2 lbf/ft².

Passo 5

Agora, vamos calcular o trabalho realizado pelo gás. O trabalho $ W $ é dado por:
W
Onde $ \Delta V $ é a variação do volume. Como o êmbolo é empurrado para cima por 1,7 ft, a variação do volume é:
W = P times De
Então, o trabalho realizado pelo gás é:
De

Passo 6

Agora, vamos calcular a variação da energia potencial ($ \Delta PE $) do êmbolo e do contrapeso quando são erguidos pela altura de 1,7 ft. A fórmula para a energia potencial gravitacional é:
De
Já vimos que $ m \times g $ é a força $ F $, que é 250 lbf, e $ h $ é 1,7 ft:
De

Resposta

O trabalho realizado pelo gás é aproximadamente 4430,1 lbf.ft e a variação da energia potencial do êmbolo e do contrapeso é de 425 lbf.ft.

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