A variação da pressão de um fluido com a altura é descrita pela equação diferencial:
d Pd Z=-rho g
Aqui, rho é a densidade específica e g é a aceleração da gravidade local. Modelando a atmosfera como uma coluna isotérmica de um gás ideal na temperatura de 10 ^circ C, estime a pressão ambiente em Denver, que se localiza 1 milha acima do nível do mar. Para o ar, considere ( M=29 g / gmol ). Valores de R são fornecidos na tabela da constante dos gases.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa estimar a pressão atmosférica em Denver, que fica a 1 milha acima do nível do mar. Para isso, vamos usar a equação que relaciona a variação da pressão com a altura:
d Pd Z = -rho cdot g
Aqui, rho é a densidade do ar e g é a aceleração da gravidade. Vamos precisar também considerar que a atmosfera é um gás ideal a uma temperatura de 10^circC. Vamos usar a lei dos gases ideais e algumas outras fórmulas básicas para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a equação diferencial d Pd Z = -rho cdot g descreve como a pressão P muda com a altura Z. Para resolver isso, precisamos expressar rho em termos de P e Z.
Sabemos que para um gás ideal, a densidade rho pode ser relacionada pela fórmula:
rho = P cdot MR cdot T
Onde:
  • M é a massa molar do ar (29 g/mol, que vamos converter para kg/mol: 0,029 kg/mol)
  • R é a constante dos gases (usaremos 8,314 , J/mol·K)
  • T é a temperatura absoluta em Kelvin
Como a temperatura está em 10^circC, precisamos converter para Kelvin:
T = 10 + 273,15 = 283,15 , K

Passo 3

Agora, substituímos rho na equação diferencial:
d Pd Z = -P cdot M cdot gR cdot T
Essa é uma equação diferencial separável, o que significa que podemos rearranjá-la para integrar:
d PP = -M cdot gR cdot T , d Z

Passo 4

Vamos integrar ambos os lados da equação. Os limites de integração para P vão de P0 (pressão ao nível do mar) para P em Denver, e para Z de 0 a H (altura de 1 milha convertida para metros).
A integral fica assim:
integralP0^P 1P , d P = -M cdot gR cdot T integral0^H d Z
Integrando, temos:
ln(PP0) = -M cdot g cdot HR cdot T

Passo 5

Agora, resolvemos para P:
PP0 = e^-M cdot g cdot HR cdot T
Então:
P = P0 cdot e^-M cdot g cdot HR cdot T

Passo 6

Vamos substituir os valores numéricos:
  • M = 0,029 , kg/mol
  • g = 9,81 , m/s^2
  • H = 1 , milha = 1609 , m
  • R = 8,314 , J/mol·K
  • T = 283,15 , K
  • P0 = 101325 , Pa (pressão ao nível do mar)
Substituindo na equação:
P = 101325 cdot e^-0,029 cdot 9,81 cdot 16098,314 cdot 283,15

Passo 7

Calculando o expoente primeiro:
0,029 cdot 9,81 cdot 16098,314 cdot 283,15 approx 0,029 cdot 9,81 cdot 16092354,5 approx 456,42354,5 approx 0,194
Então:
P = 101325 cdot e^-0,194
Calculando e^-0,194:
e^-0,194 approx 0,824

Resposta

Portanto, a pressão atmosférica em Denver, a 1 milha acima do nível do mar, é aproximadamente:
P approx 101325 times 0,824 approx 83450 , Pa
Isso significa que a pressão do ar em Denver é cerca de 83,450 Pa.

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