A variação da pressão de um fluido com a altura é descrita pela equação diferencial:
Aqui,
é a densidade específica e g é a aceleração da gravidade local. Modelando a atmosfera como uma coluna isotérmica de um gás ideal na temperatura de
, estime a pressão ambiente em Denver, que se localiza 1 milha acima do nível do mar. Para o ar, considere (
). Valores de R são fornecidos na tabela da constante dos gases.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa estimar a pressão atmosférica em Denver, que fica a 1 milha acima do nível do mar. Para isso, vamos usar a equação que relaciona a variação da pressão com a altura:
Aqui,
é a densidade do ar e
é a aceleração da gravidade. Vamos precisar também considerar que a atmosfera é um gás ideal a uma temperatura de
. Vamos usar a lei dos gases ideais e algumas outras fórmulas básicas para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a equação diferencial
descreve como a pressão
muda com a altura
. Para resolver isso, precisamos expressar
em termos de
e
.
Sabemos que para um gás ideal, a densidade
pode ser relacionada pela fórmula:
Onde:
-
é a massa molar do ar (29 g/mol, que vamos converter para kg/mol: 0,029 kg/mol) -
é a constante dos gases (usaremos ) -
é a temperatura absoluta em Kelvin
Como a temperatura está em
, precisamos converter para Kelvin:
Passo 3
Agora, substituímos
na equação diferencial:
Essa é uma equação diferencial separável, o que significa que podemos rearranjá-la para integrar:
Passo 4
Vamos integrar ambos os lados da equação. Os limites de integração para
vão de
(pressão ao nível do mar) para
em Denver, e para
de 0 a
(altura de 1 milha convertida para metros).
A integral fica assim:
Integrando, temos:
Passo 5
Agora, resolvemos para
:
Então:
Passo 6
Vamos substituir os valores numéricos:
-
-
-
-
-
-
(pressão ao nível do mar)
Substituindo na equação:
Passo 7
Calculando o expoente primeiro:
Então:
Calculando
:
Resposta
Portanto, a pressão atmosférica em Denver, a 1 milha acima do nível do mar, é aproximadamente:
Isso significa que a pressão do ar em Denver é cerca de 83,450 Pa.