Um gás é confinado em um cilindro por um pistão. A pressão inicial do gás é de 7 bar e o volume é de 0,10 \mathrm{~m}^{3}. O pistão é mantido no lugar por travas.
a) Todo o aparelho é colocado em vácuo total. Qual é a variação de energia do aparelho se as travas de retenção forem removidas, de modo que o gás se expanda repentinamente para o dobro do seu volume inicial, com o pistão batendo em outras travas no final do processo?
b) O processo descrito em (a) é repetido, mas no ar a 101,3 \mathrm{kPa}, em vez de no vácuo. Qual é a variação de energia do aparelho? Suponha que a taxa de troca de calor entre o aparelho e o ar circundante seja lenta em comparação com a taxa na qual o processo ocorre.

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos (o que o problema pede):\n
  • Um gás está confinado por um pistão em um cilindro. A pressão inicial do gás é \;7\\ \mathrm{bar}\; e o volume inicial é \;0,10\\ \mathrm{m}^{3}.\n
  • O pistão é inicialmente travado; ao remover as travas o gás expande-se repentinamente até o dobro do volume inicial (ou seja, V_f = 2V_i).\n
  • Pergunta (a): o aparelho é colocado em vácuo total. Após a expansão rápida com o pistão batendo em outras travas no fim do processo, qual é a variação de energia do aparelho?\n
  • Pergunta (b): repetir o mesmo processo, mas agora o aparelho está imerso no ar a \;101{,}3\\ \mathrm{kPa}\; (atmosfera). A troca de calor entre aparelho e ar circundante é lenta comparada à velocidade do processo (ou seja, praticamente sem calor trocado durante a expansão). Qual é a variação de energia do aparelho?\n
  • Dados úteis adicionais inferidos do enunciado: volume inicial \;V_i=0,10\\ \mathrm{m}^3, volume final \;V_f=2V_i=0,20\\ \mathrm{m}^3, variação de volume \;\Delta V=V_f-V_i=0,10\\ \mathrm{m}^3.

Passo 2

Escolha do sistema e definição de convenções (muito importante para usar a Primeira Lei):\n
  • Vou tomar como “aparelho” o sistema que inclui o gás, o pistão e o próprio cilindro e travas (ou seja, tudo que pertence ao conjunto móvel/fixo que foi descrito no enunciado). Energia trocada com o ar exterior (no caso (b)) será trabalho feito pelo aparelho sobre o ar, se aplicável.\n
  • Convenção de sinais (a mais comum na termodinâmica de engenharia): a Primeira Lei para o sistema fechado escrito de forma simples é
\Delta E = Q - W,
onde \Delta E é a variação da energia total do sistema (energia interna + energia cinética + energia potencial, etc.), Q é o calor fornecido ao sistema e W é o trabalho realizado pelo sistema sobre o ambiente externo.\n
  • No processo rápido descrito assumimos que não há tempo para troca de calor significativa com o entorno durante a expansão, então Q \approx 0 (isso é enfatizado no enunciado para o caso (b) e é também aplicável ao caso (a) onde há vácuo).

Passo 3

Análise física do que acontece durante a expansão (comportamento energético):\n
  • Quando as travas são removidas o gás empurra o pistão e o pistão acelera para fora. Durante essa aceleração o gás realiza trabalho instantâneo sobre o pistão, e o pistão adquire energia cinética. No fim o pistão bate em outras travas e essa energia cinética é dissipada (por choque, atrito local, vibrações) e transforma-se em energia interna do próprio aparelho (aquecimento local, deformação). Tudo isto é energia interna do sistema se o sistema inclui pistão e travas.\n
  • O que difere entre os dois casos é se parte dessa energia sai do sistema para o meio exterior como trabalho realizado sobre o ar ambiente. Em vácuo não há ar para receber trabalho; no ar, o pistão faz trabalho contra a pressão atmosférica que é energia enviada para o ambiente.

Passo 4

Resolução do item (a) — vácuo total:\n
  • Em vácuo a pressão externa é zero, portanto o trabalho irreversível realizado contra o exterior é nulo: W_{\text{ext}}=0.\n
  • Como o processo é rápido e não há troca significativa de calor, Q\approx 0.\n
  • Aplicando a Primeira Lei:
\Delta E = Q - W = 0 - 0 = 0.
  • Interpretação didática: embora o gás tenha impulsionado o pistão e esse pistão tenha adquirido energia cinética momentaneamente, toda essa energia permanece no sistema (pistão + travas + gás) quando o pistão bate e a energia cinética é dissipada internamente. Não houve transferência de energia para o ambiente (não houve trabalho externo nem calor), logo a energia total do aparelho não se altera.

Passo 5

Quantificação para (a) (fazer as contas explícitas):\n
  • Variação de volume: \Delta V = V_f - V_i = 0{,}20 - 0{,}10 = 0{,}10\\ \mathrm{m}^3 (informação usada só para consistência).\n
  • Trabalho externo contra o vácuo:
W = p_{\text{ext}}\Delta V = 0 \cdot 0{,}10 = 0\\ \mathrm{J}.
  • Logo:
\Delta E = 0\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Resolução do item (b) — aparelho no ar a \;101{,}3\\ \mathrm{kPa}:\n
  • Agora há uma pressão externa constante aproximadamente igual à pressão atmosférica: p_{\text{ext}} = 101{,}3\\ \mathrm{kPa} = 101300\\ \mathrm{Pa}.\n
  • O trabalho realizado pelo aparelho sobre o ar (trabalho de expansão contra pressão constante) é, para uma expansão rápida com pressão externa aproximadamente constante,
W = p_{\text{ext}}\,\Delta V.
  • Usando \Delta V = 0{,}10\\ \mathrm{m}^3:
W = 101300\\ \mathrm{Pa}\times 0{,}10\\ \mathrm{m}^3 = 10130\\ \mathrm{J}.
  • Como o processo é rápido, Q\approx 0. Aplicando a Primeira Lei:
\Delta E = Q - W \approx 0 - 10130\\ \mathrm{J} = -10130\\ \mathrm{J}.
  • Em unidades mais usuais:
-10130\\ \mathrm{J} = -10{,}13\\ \mathrm{kJ}.
  • Interpretação didática: a energia total do aparelho diminui porque parte da energia disponível foi transferida como trabalho para o ar ambiente. Mesmo que alguma energia cinética do pistão seja temporariamente convertida em calor interno do aparelho ao bater nas travas, o balanço final mostra que a perda líquida do aparelho é justamente o trabalho entregue ao ar, já que não houve troca de calor significativa.

Passo 7

Resumo numérico e comentários finais (para você lembrar na prova):\n
  • Caso vácuo: sempre que o sistema for isolado mecanicamente do exterior (p_{ext}=0) e sem calor trocado, a variação de energia do aparelho é zero, independentemente de movimentos internos e choques — atenção: isso vale porque o sistema inclui todas as partes que dissipam a energia cinética.\n
  • Caso com atmosfera: para uma expansão rápida contra pressão atmosférica constante, calcule o trabalho simples W=p_{\text{ext}}\Delta V e use \Delta E= -W se Q\approx 0. Faça sempre conversão de unidades (kPa → Pa, m^3) antes de multiplicar.

Resposta

\Delta E_{\text{(a)}}=0\\ \mathrm{J}.\n
\Delta E_{\text{(b)}}=-10{,}13\\ \mathrm{kJ}

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