Gás hélio é comprimido por um compressor adiabático a um estado inicial de 14 psia e 50^circ F até atingir uma temperatura final de 320^circ F de uma maneira reversível. Determine a pressão de saída do hélio.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem hélio sendo comprimido de um estado inicial de 14 psia e 50°F até atingir uma temperatura final de 320°F, tudo de forma adiabática e reversível. Nosso objetivo aqui é encontrar a pressão de saída do hélio depois dessa compressão. Para isso, vamos usar conceitos de termodinâmica, especificamente relacionados a processos adiabáticos para gases ideais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um processo adiabático. Em termos simples, é quando não há troca de calor com o ambiente durante a compressão ou expansão do gás. Além disso, como é reversível, podemos usar as relações termodinâmicas para processos ideais. Para gases ideais, a relação adiabática é dada por:
P1 V1^gamma = P2 V2^gamma
Mas como a gente não tem os volumes, vamos usar outra relação que liga temperatura e pressão em processos adiabáticos:
T2T1 = ( P2P1 )^gamma - 1gamma

Passo 3

Precisamos primeiro converter as temperaturas de Fahrenheit para a escala absoluta, que no caso é a escala Rankine (°R). Isso porque as equações termodinâmicas funcionam melhor com temperaturas absolutas.
A fórmula para converter Fahrenheit (°F) para Rankine (°R) é:
T(°R) = T(°F) + 459,67
Então vamos calcular:
T1 = 50 + 459,67 = 509,67 , °R
T2 = 320 + 459,67 = 779,67 , °R

Passo 4

Agora, precisamos do valor de γ (gamma), que é a razão entre as capacidades térmicas do gás a pressão constante (Cp) e a volume constante (Cv). Para o hélio, que é um gás monoatômico, γ é igual a 1,66.
Vamos rearranjar a equação para encontrar T2T1 = ( P2P1 )^gamma - 1gamma Rightarrow ( T2T1 )^gammagamma - 1 = P2P1 :

Passo 5

Substituindo os valores que temos:
779,67509,67 = ( P214 )^1,66 - 11,66 Rightarrow 1,529 = ( P214 )^0,66/1,66
Calculando o expoente:
0,66 / 1,66 approx 0,398
Então:
1,529 = ( P214 )^0,398
Agora, vamos isolar ( P214 ) = 1,529^10,398 Rightarrow P214 approx 1,529^2,513 approx 3,2 :
P2 approx 3,2 times 14 = 44,8 , psia
Multiplicando ambos os lados por 14:

Resposta

A pressão de saída do hélio é aproximadamente 44,8 psia.

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