Um gás ideal está contido num cilindro vertical que conta com um pistão leve de área A no seu topo, sem atrito e sem folgas. Quando a pressão do gás é a mesma que a pressão atmosférica, P0, o pistão encontra-se a uma distância L do fundo. O gás é ligeiramente comprimido pelo movimento forçado do pistão cujo deslocamento é x. Calcule a constante elástica do sistema:
(b) se a compressão for adiabática.

Passo 1

O enunciado descreve um gás ideal sob um pistão de área A, inicialmente em equilíbrio com pressão atmosférica P₀ e altura L. Queremos achar a constante efetiva de um “molinha” que representa a força restauradora quando comprimimos adiabaticamente o gás por um deslocamento x. Vamos usar a relação adiabática e a definição de constante elástica k = dF/dx.

Passo 2

Para um gás ideal submetido a uma compressão adiabática, vale a lei:
p V^gamma = constante = p0 V0^gamma, onde γ é o coeficiente adiabático, V₀ = A L é o volume inicial e p₀ = P₀ é a pressão inicial.

Passo 3

Ao deslocar o pistão uma pequena distância x para dentro, o novo volume é
V = A (L - x) = V0l(1 - tfracxLr)

Passo 4

Substituindo em pVᵞ = p₀V₀ᵞ, obtemos a pressão como função de x:
p(x) = P0l(1 - tfracxLr)^-gamma

Passo 5

A força restauradora (resistência à compressão) é a diferença entre a pressão interna e externa vezes a área:
F(x) = Al[p(x) - P0r]

Passo 6

Para x pequeno, expandimos p(x) em série de Taylor até a ordem linear. Calculamos primeiro a derivada:
dpdx = P0,gamma,1Ll(1 - tfracxLr)^-gamma - 1implies dpdxg|x=0 = gamma P0L

Passo 7

Como k = dF/dx = A·dp/dx (em x=0), concluímos que
k = A ;gamma P0L

Resposta

k = \dfrac{\gamma P_{0} A}{L} = \dfrac{\gamma P_{0} A^{2}}{V_{0}}

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