Um gás ideal está contido num cilindro vertical que conta com um pistão leve de área
no seu topo, sem atrito e sem folgas. Quando a pressão do gás é a mesma que a pressão atmosférica,
, o pistão encontra-se a uma distância
do fundo. O gás é ligeiramente comprimido pelo movimento forçado do pistão cujo deslocamento é
. Calcule a constante elástica do sistema:
(b) se a compressão for adiabática.
(b) se a compressão for adiabática.
Passo 1
O enunciado descreve um gás ideal sob um pistão de área A, inicialmente em equilíbrio com pressão atmosférica P₀ e altura L. Queremos achar a constante efetiva de um “molinha” que representa a força restauradora quando comprimimos adiabaticamente o gás por um deslocamento x. Vamos usar a relação adiabática e a definição de constante elástica k = dF/dx.
Passo 2
Para um gás ideal submetido a uma compressão adiabática, vale a lei:
Passo 3
Ao deslocar o pistão uma pequena distância x para dentro, o novo volume é
Passo 4
Substituindo em pVᵞ = p₀V₀ᵞ, obtemos a pressão como função de x:
Passo 5
A força restauradora (resistência à compressão) é a diferença entre a pressão interna e externa vezes a área:
Passo 6
Para x pequeno, expandimos p(x) em série de Taylor até a ordem linear. Calculamos primeiro a derivada:
Passo 7
Como k = dF/dx = A·dp/dx (em x=0), concluímos que
Resposta
k = \dfrac{\gamma P_{0} A}{L} = \dfrac{\gamma P_{0} A^{2}}{V_{0}}