Um mol de ar, inicialmente a
e 8 bar, sofre as seguintes modificações mecanicamente reversíveis. Ele expande isotermicamente até uma pressão tal que, quando é resfriado a volume constante até
, sua pressão final é de 3 bar. Admitindo o ar como um gás ideal com
e
, calcule
,
e
.
8. Um gás ideal escoa através de um tubo horizontal em estado estacionário. Não há adição de calor nem realização de trabalho de eixo. A área da seção transversal do tubo varia com o comprimento, o que causa variação na velocidade. Deduza uma equação relacionando a temperatura com a velocidade do gás. Se nitrogênio a
escoa através de uma seção do tubo, a uma velocidade de
, qual será sua temperatura em outra seção, na qual sua velocidade é de
? Considere
.
8. Um gás ideal escoa através de um tubo horizontal em estado estacionário. Não há adição de calor nem realização de trabalho de eixo. A área da seção transversal do tubo varia com o comprimento, o que causa variação na velocidade. Deduza uma equação relacionando a temperatura com a velocidade do gás. Se nitrogênio a
Passo 1
Enunciados e dados (vou listar tudo com calma para não nos perder):\n
Problema 1 (ar, 1 mol):\n
Problema 1 (ar, 1 mol):\n
- Há
mol de ar. \n - Estado inicial:
, .\n - O gás sofre expansão isotérmica reversível até uma pressão
(a temperatura permanece nessa etapa).\n - Depois é resfriado a volume constante até
, e a pressão final então é .\n - Capacidade calorífica molar dada:
e .\n - Constante dos gases:
.\n
O que se pede: calcular, , e . (Vou calcular por etapas: trabalho/energia para a etapa isotérmica, para a etapa a volume constante, e depois os totais.)\n\n
Problema 2 (escoamento estacionário de gás ideal):\n - Gás ideal (nitrogênio) escoa por tubo horizontal em regime permanente.\n
- Sem adição de calor:
. Sem trabalho de eixo: . Variação de velocidade por mudança de área.\n - Deduza relação entre temperatura e velocidade.\n
- Caso numérico: nitrogênio a
, numa seção e noutra seção. (aqui é molar; vou tratar adequadamente as unidades quando calcular).\n
O que se pede: expressão relacionando temperatura e velocidade e a temperatura finalpara os dados numéricos.\n
Passo 2
Primeiro: encontrar
(condição entre as etapas) usando a lei dos gases ideais em processo a volume constante na segunda etapa. Explicando a ideia: em um processo a volume constante, a pressão é proporcional à temperatura (
). Então, para a transição do estado 2 (antes do resfriamento) ao estado 3 (após o resfriamento) com volume constante,\n
Aqui
(porque a expansão inicial foi isotérmica) e
. Portanto\n
Substituindo os números:\n
Arredondando razoavelmente:
.\n
Passo 3
Agora a etapa 1 → 2: expansão isotérmica reversível do gás ideal à temperatura
. Conceito-chave: para um gás ideal em expansão isotérmica e reversível, o trabalho realizado pelo gás é dado por\n
Explicação de por que essa fórmula: em processo isotérmico para gás ideal,
é constante (com
fixo), e a definição de trabalho reversível é
. Substituindo
e integrando obtemos a expressão acima.\n
Também podemos trocar a razão de volumes por razão de pressões usando const:
. Então\n
Também podemos trocar a razão de volumes por razão de pressões usando
Substituindo valores (
,
,
,
,
):\n
Calculemos passo a passo: \n
e
. Logo\n
Interpretação do sinal: esse é o trabalho realizado pelo gás (positivo), já que o volume aumenta.\n
Passo 4
Propriedades termodinâmicas da etapa isotérmica para gás ideal (aula curta):\n
- Para gás ideal, a energia interna
depende somente da temperatura. Em processo isotérmico ( constante), .\n - Primeira Lei do gás:
. Como , então . Ou seja, o calor fornecido é igual ao trabalho realizado pelo sistema.\n - Para gás ideal, entalpia
também depende apenas de , logo .\n
Aplicando aos números:\n
Passo 5
Etapa 2 → 3: resfriamento a volume constante de
até
.\n
Conceitos usados:\n
Conceitos usados:\n
- Trabalho a volume constante é
(o trabalho é zero porque ).\n - Variação de energia interna para gás ideal:
, onde é a capacidade calorífica molar a volume constante; aqui . \n - Variação de entalpia:
, com .\n
Calculemos.\n
Então\n
Arredondando:
(energia interna diminui porque o gás foi resfriado).\n
Como , a Primeira Lei dá
, então\n
Como
A variação de entalpia:\n
Passo 6
Agora somamos as contribuições das duas etapas para obter os totais do processo completo (1 → 3).\n
- Trabalho total:\n
- Calor total:\n
- Variação total de energia interna:\n
- Variação total de entalpia:\n
Cheque rápido de consistência (Primeira Lei para o processo total):
. Substituindo:
, que é verdade numericamente (diferença de arredondamento desprezível). Tudo coerente.\n
Passo 7
Agora passamos ao Problema 2 (escoamento). Deduza a relação entre temperatura e velocidade.\n
Princípio: para escoamento estacionário sem troca de calor e sem trabalho de eixo, a equação da energia por unidade de massa reduz-se a (ignorando energia potencial)\n
Princípio: para escoamento estacionário sem troca de calor e sem trabalho de eixo, a equação da energia por unidade de massa reduz-se a (ignorando energia potencial)\n
onde
é a entalpia por unidade de massa e
é a velocidade (m/s). Explicando: a equação de energia por unidade de massa para um volume de controle em regime permanente é
. Com
,
, e energia por unidade de massa composta por entalpia mais cinética, obtemos a relação acima.\n
Para um gás ideal com capacidade calorífica constante por unidade de massa , temos
. Substituindo, para dois pontos 1 e 2,\n
Para um gás ideal com capacidade calorífica constante por unidade de massa
Rearranjando para
:\n
Comentário sobre unidades:
deve estar em
se
está em
. No enunciado
é dado na forma molar (
). Posso trabalhar com quantidades molares: escrever a equação por mol usando entalpia molar
e a energia cinética por mol
, onde
é a massa molar (kg/mol). Assim a conservação fica\n
De onde, para
, obtemos a fórmula molar\n
Essa é a expressão que eu vou usar, porque foi dada
na forma molar.\n
Passo 8
Calcule o exemplo numérico para nitrogênio:\n
Dados: ,
,
,
.\n
Massa molar do nitrogênio (N ):
.\n
Aplique a fórmula molar:\n
Dados:
Massa molar do nitrogênio (N
Aplique a fórmula molar:\n
Calcule
.\n
Agora o incremento de temperatura:\n
Agora o incremento de temperatura:\n
Logo\n
Convertendo para graus Celsius:
.\n
Interpretação física rápida: ao acelerar de para
o gás perde um pouco de energia interna (fica mais frio) porque a energia cinética macroscópica aumentou; a queda de temperatura é pequena (aprox
) porque a massa molar é pequena e
é relativamente grande.\n
Interpretação física rápida: ao acelerar de