Um gás ideal de estado p, V, T perfaz as seguintes mudanças sucessivas:
a. É aquecido sob pressão constante até seu volume dobrar;
b. É aquecido sob volume constante até sua pressão dobrar;
c. Expande isotermicamente até sua pressão retornar a p.
Calcule para cada caso os valores de (p, V, T) e esboce as mudanças em um diagrama (p, V).

Passo 1

O enunciado descreve um gás ideal que parte do estado (p,V,T) e passa por três transformações sucessivas:
  1. Aquecimento a pressão constante até o volume dobrar.
  2. Aquecimento a volume constante até a pressão dobrar.
  3. Expansão isotérmica até a pressão voltar ao valor inicial p.
Para resolver usamos a lei dos gases ideais
pV = nR\,T
que relaciona pressão p, volume V e temperatura T.

Passo 2

Processo (a): pressão constante p e V_2 = 2V.
Pela lei dos gases, na mesma pressão
\frac{V_2}{T_2} = \frac{V}{T} \quad\Longrightarrow\quad T_2 = T\;\frac{V_2}{V} = T\cdot2 = 2T.
Logo o estado após (a) é
(p_2,V_2,T_2) = \bigl(p,\,2V,\,2T\bigr).

Passo 3

Processo (b): volume constante V_2=2V e p_3 = 2p_2 = 2p.
De novo pela lei dos gases, em volume fixo
\frac{p_3}{T_3} = \frac{p_2}{T_2} \quad\Longrightarrow\quad T_3 = T_2\;\frac{p_3}{p_2} = 2T\cdot2 = 4T.
Assim o estado após (b) é
(p_3,V_3,T_3) = \bigl(2p,\,2V,\,4T\bigr).

Passo 4

Processo (c): isotérmico a temperatura T_3=4T, começando em (2p,2V,4T) e terminando em p_4 = p.
Na isoterma vale
p_3\,V_3 = p_4\,V_4 = nR\,T_3 = 4\,pV,
logo
V_4 = \frac{p_3\,V_3}{p_4} = \frac{2p\cdot2V}{p} = 4V.
O estado final é
(p_4,V_4,T_4) = \bigl(p,\,4V,\,4T\bigr).

Passo 5

Esboço no diagrama (p,V):
  • De (p,V) a (p,2V): reta horizontal (isóbara).
  • De (p,2V) a (2p,2V): reta vertical (isocórica).
  • De (2p,2V) a (p,4V): ramo de hipérbole pV=\text{const} (isoterma).

Resposta

Estado inicial: (p,V,T)
Após (a): (p,2V,2T)
Após (b): (2p,2V,4T)
Após (c): (p,4V,4T)

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