Um gás ideal, inicialmente a 600 K e 10 bar, passa por um ciclo mecanicamente reversível de quatro etapas em um sistema fechado. Na etapa 12, a pressão diminui isotermicamente para 3 bar; na etapa 23, a pressão diminui a volume constante para 2 bar; na etapa 34, o volume diminui a pressão constante; e na etapa 41, o gás retorna adiabaticamente ao seu estado inicial. Considere C_{P}=(7 / 2) R e C_{V}=(5 / 2) R.
(a) Esboce o ciclo em um diagrama PV.
(b) Determine (quando desconhecidos) os valores de P e T para os estados 1, 2, 3 e 4.
(c) Calcule W, Q, \Delta U e \Delta H para cada etapa do ciclo.

Passo 1

A gente tem um ciclo reversível de gás ideal em sistema fechado, com quatro etapas:
1\to 2: isoterma a T=600\:\text{K} de P_{1}=10\:\text{bar} para P_{2}=3\:\text{bar} 2\to 3: volume constante de P_{2}=3\:\text{bar} para P_{3}=2\:\text{bar} 3\to 4: pressão constante a 2\:\text{bar} com compressão de volume
4\to 1: adiabática que retorna ao estado inicial \bigl(P_{1},T_{1}\bigr).
Foi dado C_{p}=\tfrac{7}{2}R, C_{v}=\tfrac{5}{2}R.
Pedido:
(a) esquema do ciclo em diagrama P V.
(b) valores de \bigl(P,T,V\bigr) nos estados 1,2,3,4 (assumimos n=1\:\text{mol}).
(c) para cada etapa, calcular W, Q, \Delta U e \Delta H.

Passo 2

Esboço qualitativo do ciclo no diagrama P V:
– Trajeto 1\to 2 segue uma isoterma convexa para cima (expansão, P cai de 10 para 3 bar).
– Trajeto 2\to 3 é vertical para baixo (isochórico, V constante).
– Trajeto 3\to 4 é horizontal para a esquerda (isobárico, P=2\:\text{bar}, volume diminui).
– Trajeto 4\to 1 é uma curva adiabática mais inclinada que a isoterma, fechando o ciclo.

Passo 3

Calcular estado 1 e 2.
Para n=1\:\text{mol},
V_{1}=\frac{R\,T_{1}}{P_{1}} =\frac{8{,}314\cdot600}{10\times10^{5}} \approx0{,}00499\:\text{m}^{3}.
Na isoterma 1\to 2 temos T_{2}=T_{1}=600\:\text{K} e
P_{1}V_{1}=P_{2}V_{2}\quad\Rightarrow\quad V_{2}=\frac{P_{1}}{P_{2}}\,V_{1} =\frac{10}{3}\,V_{1}\approx0{,}01663\:\text{m}^{3}.

Passo 4

Calcular estado 3.
Em 2\to 3, V_{3}=V_{2} e pela lei dos gases,
\frac{P_{2}}{T_{2}}=\frac{P_{3}}{T_{3}} \quad\Rightarrow\quad T_{3}=T_{2}\,\frac{P_{3}}{P_{2}} =600\,\frac{2}{3}=400\:\text{K},
com P_{3}=2\:\text{bar}, V_{3}=0{,}01663\:\text{m}^{3}.

Passo 5

Calcular estado 4 impondo que 3\to 4 é isobárico a P_{4}=P_{3}=2\:\text{bar} e que 4\to 1 é adiabática com \gamma=\tfrac{C_{p}}{C_{v}}=1{,}4.
Da adiabática T\,V^{\gamma-1}= constante entre 4 e 1 e da ideal entre 4 e 1, vem
0{,}2\,\frac{V_{4}}{V_{1}} =\Bigl(\frac{V_{1}}{V_{4}}\Bigr)^{0{,}4} \quad\Rightarrow\quad \frac{V_{4}}{V_{1}}\approx3{,}161,
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V_{4}\approx3{,}161\,V_{1}\approx0{,}01578\:\text{m}^{3}, \quad T_{4} =T_{1}\Bigl(\frac{V_{1}}{V_{4}}\Bigr)^{0{,}4} \approx600\,(3{,}161)^{-0{,}4} \approx379\:\text{K}.

Passo 6

Cálculo de W, Q, \Delta U, \Delta H em cada etapa ( n=1).
1\to 2 (isoterma a 600\:\text{K}):
\Delta U=0,\quad \Delta H=0,\quad W_{12}=R\,T\ln\frac{V_{2}}{V_{1}} =8{,}314\cdot600\ln\frac{10}{3}\approx6005\:\text{J}, \quad Q_{12}=W_{12}.
2\to 3 (isochoric):
W_{23}=0,\quad \Delta U_{23}=C_{v}(T_{3}-T_{2}) =\frac{5}{2}R\,(400-600)\approx-4157\:\text{J},
Q_{23}=\Delta U_{23}\approx-4157\:\text{J}, \quad \Delta H_{23}=C_{p}(T_{3}-T_{2}) =\frac{7}{2}R\,(400-600)\approx-5819\:\text{J}.
3\to 4 (isobárico):
W_{34}=R\,(T_{4}-T_{3}) =8{,}314\,(379-400)\approx-178\:\text{J},
\Delta U_{34}=C_{v}(T_{4}-T_{3}) \approx-445\:\text{J}, \quad \Delta H_{34}=C_{p}(T_{4}-T_{3}) \approx-624\:\text{J}, \quad Q_{34}=\Delta U_{34}+W_{34}\approx-623\:\text{J}.
4\to 1 (adiabática):
Q_{41}=0,\quad \Delta U_{41}=C_{v}(T_{1}-T_{4}) \approx+4602\:\text{J},
W_{41}=-\Delta U_{41}\approx-4602\:\text{J}, \quad \Delta H_{41}=C_{p}(T_{1}-T_{4}) \approx+6443\:\text{J}.

Resposta

Estado 1: P_{1}=10\:\text{bar}, T_{1}=600\:\text{K}, V_{1}=(R\,T_{1})/P_{1}\approx0{,}00499\:\text{m}^{3}.
Estado 2: P_{2}=3\:\text{bar}, T_{2}=600\:\text{K}, V_{2}=(10/3)V_{1}\approx0{,}01663\:\text{m}^{3}.
Estado 3: P_{3}=2\:\text{bar}, T_{3}=400\:\text{K}, V_{3}=V_{2}\approx0{,}01663\:\text{m}^{3}.
Estado 4: P_{4}=2\:\text{bar}, T_{4}\approx379\:\text{K}, V_{4}\approx3{,}161\,V_{1}\approx0{,}01578\:\text{m}^{3}.
1\to 2: W=+6005\:\text{J}, Q=+6005\:\text{J}, \Delta U=0, \Delta H=0.
2\to 3: W=0, Q=-4157\:\text{J}, \Delta U=-4157\:\text{J}, \Delta H=-5819\:\text{J}.
3\to 4: W\approx-178\:\text{J}, Q\approx-623\:\text{J}, \Delta U\approx-445\:\text{J}, \Delta H\approx-624\:\text{J}.
4\to 1: W\approx-4602\:\text{J}, Q=0, \Delta U=+4602\:\text{J}, \Delta H=+6443\:\text{J}.

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