Um mol de um gás ideal com capacidades caloríficas constantes sofre um processo arbitrário mecanicamente reversível. Mostre que:
\Delta U=\frac{1}{\gamma-1} \Delta(P V)

Passo 1

O enunciado diz que temos um mol de gás ideal com capacidades caloríficas constantes que passa por um processo reversível qualquer. O conteúdo aqui é termodinâmica de gases ideais: vamos usar a relação entre a energia interna U e a temperatura, a equação de estado PV=RT para uma mole, e a definição de \gamma=C_p/C_v.

Passo 2

Para um gás ideal de uma mole com capacidade calorífica molar a volume constante C_v constante, vale
\Delta U = C_v\,\Delta T
pois a energia interna depende só da temperatura.

Passo 3

Pela equação de estado de um mol de gás ideal,
PV = R\,T,
logo diferenciando obtemos
\Delta(PV) = R\,\Delta T.

Passo 4

Isolando \Delta T em \Delta(PV)=R\,\Delta T e substituindo em \Delta U=C_v\,\Delta T, temos
\Delta U = C_v\;\frac{\Delta(PV)}{R} =\frac{C_v}{R}\,\Delta(PV).

Passo 5

Como definimos \gamma = \tfrac{C_p}{C_v} e sabemos que
C_p - C_v = R,
segue-se que
C_v = \frac{R}{\gamma - 1} \quad\Longrightarrow\quad \frac{C_v}{R} = \frac{1}{\gamma - 1}.

Passo 6

Substituindo \tfrac{C_v}{R}=\tfrac{1}{\gamma-1} em \Delta U=\tfrac{C_v}{R}\,\Delta(PV), obtemos justamente
\Delta U = \frac{1}{\gamma-1}\,\Delta(PV).

Resposta

\Delta U = \frac{1}{\gamma-1}\,\Delta(PV).

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