Um mol de um gás ideal com C_{P}=(5 / 2) R e C_{V}=(3 / 2) R sofre uma expansão de P_{1}=6 bar e T_{1}=800 \mathrm{~K} para P_{2} =1 bar por meio das seguintes trajetórias:
(c) Adiabaticamente.
Admitindo reversibilidade mecânica, calcule W, Q, \Delta U e \Delta H para cada processo. Esboce cada trajetória em um único diagrama PV.

Passo 1

O enunciado trata de um processo adiabático reversível (sem troca de calor, Q=0) em 1 mol de gás ideal com
C_P = \tfrac{5}{2}R,\quad C_V = \tfrac{3}{2}R
de P_1=6 bar e T_1=800 K até P_2=1 bar. Para resolver vamos usar:
  1. A relação adiabática P V^\gamma=\text{const} com \gamma=C_P/C_V.
  2. A lei dos gases ideais e a definição de trabalho e energia interna:
\Delta U = n C_V (T_2-T_1),\quad \Delta H = n C_P (T_2-T_1),\quad Q=0,\quad \Delta U = Q - W.

Passo 2

Calculemos o expoente adiabático
\gamma = \frac{C_P}{C_V} = \frac{\tfrac{5}{2}R}{\tfrac{3}{2}R} = \frac{5}{3}.
E a temperatura final T_2 usando
T_2 = T_1\Bigl(\frac{P_2}{P_1}\Bigr)^{\!\tfrac{\gamma-1}{\gamma}} =800\;\mathrm K\;\Bigl(\frac{1}{6}\Bigr)^{\tfrac{2/3}{5/3}} =800\;(1/6)^{2/5}\approx 391\;\mathrm K.

Passo 3

Por ser adiabático reversível, não há troca de calor:
Q = 0.

Passo 4

Calculemos a variação de energia interna e o trabalho. Como
\Delta U = n\,C_V\,(T_2 - T_1) =1\cdot\frac{3}{2}R\,(391 - 800) \approx \tfrac{3}{2}\cdot8{,}314\cdot(-409)\;\mathrm J \approx -5{,}10\times10^3\;\mathrm J,
e pela primeira lei \Delta U = Q - W com Q=0, vem
W = -\Delta U \approx +5{,}10\times10^3\;\mathrm J.

Passo 5

A variação de entalpia é
\Delta H = n\,C_P\,(T_2 - T_1) =1\cdot\frac{5}{2}R\,(391 - 800) \approx \tfrac{5}{2}\cdot8{,}314\cdot(-409)\;\mathrm J \approx -8{,}50\times10^3\;\mathrm J.

Passo 6

No diagrama P\!-\!V, a trajetória adiabática é dada por P\,V^{5/3}= constante e aparece mais “curva” (mais inclinada) que uma isoterma. Ela parte de (P_1,V_1), segue decaindo a pressão enquanto o volume cresce até (P_2,V_2).

Resposta

W \approx +5{,}10\times10^3\;\mathrm J,\quad Q=0,\quad \Delta U\approx -5{,}10\times10^3\;\mathrm J,\quad \Delta H\approx -8{,}50\times10^3\;\mathrm J.

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