Um mol de um gás ideal com C_{P}=(5 / 2) R e C_{V}=(3 / 2) R sofre uma expansão de P_{1}=6 bar e T_{1}=800 \mathrm{~K} para P_{2} =1 bar por meio das seguintes trajetórias:
(b) Temperatura constante.
Admitindo reversibilidade mecânica, calcule W, Q, \Delta U e \Delta H para cada processo. Esboce cada trajetória em um único diagrama PV.

Passo 1

O enunciado dá um mol de gás ideal com C_{P}=\tfrac{5}{2}R e C_{V}=\tfrac{3}{2}R que se expande reversivelmente de (P_{1}=6\text{ bar},T_{1}=800\text{ K}) até (P_{2}=1\text{ bar},T_{2}=T_{1}) mantendo temperatura constante. Precisamos calcular o trabalho W, o calor Q, a variação de energia interna \Delta U e a variação de entalpia \Delta H, além de esboçar a isoterma no diagrama P\!-\!V.

Passo 2

Para um gás ideal a variação de energia interna depende só de temperatura:
\Delta U = C_{V}\,\Delta T, \quad \Delta H = C_{P}\,\Delta T.
Como o processo é isoterma, temos \Delta T=0. Logo
\Delta U = 0, \quad \Delta H = 0.

Passo 3

O trabalho reversível num processo isoterma é
W = \int_{V_{1}}^{V_{2}} P\,dV = n R T \ln\!\bigl(\tfrac{V_{2}}{V_{1}}\bigr).
Pelo gás ideal, P\,V=nRT, obtemos
V_{1} = \frac{nRT_{1}}{P_{1}}, \quad V_{2} = \frac{nRT_{1}}{P_{2}}
e assim
\frac{V_{2}}{V_{1}} = \frac{P_{1}}{P_{2}} = \frac{6}{1} = 6.

Passo 4

Usando n=1, R=8{,}314\:\mathrm{J/(mol\cdot K)} e T_{1}=800\:\mathrm{K}:
W = (1)(8{,}314)(800)\ln(6)\approx 8{,}314\times800\times1{,}7918 \approx 1{,}19\times10^{4}\:\mathrm{J}.
Como \Delta U=0, a primeira lei Q=\Delta U+W
Q = W \approx 1{,}19\times10^{4}\:\mathrm{J}.

Passo 5

Esboço da trajetória no diagrama P\!-\!V:
Traçamos a isoterma P=\tfrac{nRT_{1}}{V} ligando o ponto (V_{1},P_{1}) a (V_{2},P_{2}). É uma hiperbola que desce de P_{1}=6 bar em V_{1} até P_{2}=1 bar em V_{2}, mantendo T=800 K.

Resposta

W \approx 1{,}19\times10^{4}\:\mathrm{J}
Q \approx 1{,}19\times10^{4}\:\mathrm{J} \Delta U = 0 \Delta H = 0

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