Um sistema pistão-cilindro contém ar, considerado como um gás ideal. As condições iniciais são p_{1}=100 \mathrm{kPa}, T_{1}=27^{\circ} \mathrm{Ce} V_{1}=0,5 \mathrm{~L}. O gás é comprimido de forma quase-estática até atingir um volume final V_{2}=0,1 \mathrm{~L}.
Analise o trabalho, a temperatura e a pressão finais para cada um dos seguintes processos:
(a) Processo Isotérmico: A compressão ocorre a temperatura constante.
(b) Processo Politrópico: A compressão ocorre com expoente n=1,2.
(c) Processo Adiabático: A compressão ocorre sem troca de calor, com o índice adiabático para o ar sendo k=1,4.
Com base nos processos acima, responda:
(a) Determine a pressão e a temperatura finais para cada um dos três processos.
(b) Calcule o trabalho realizado sobre o ar, em kJ , para cada um dos processos.
(c) Esboce os três processos em um único diagrama p-V, indicando o sentido e os respectivos estados. Comente sobre o porquê da diferença nos valores de trabalho obtidos.
(d) O trabalho que você calculou no item (b) refere-se a um sistema fechado. Agora, considere um compressor alternativo real, que funciona como um sistema aberto, admitindo ar a baixa pressão e descarregando-o a alta pressão. Baseando-se nos seus cálculos de trabalho, qual seria o processo termodinâmico que resultaria na operação mais econômica desse compressor? Justifique sua resposta e explique as medidas de projeto que seriam necessárias na prática para que um compressor real se aproxime desse processo termodinâmico.
Data de entrega: Início da aula do dia 10 de setembro de 2025.

Passo 1

O enunciado descreve um sistema pistão-cilindro contendo ar ideal, com condições iniciais \;p_{1}=100\:\text{kPa},\;T_{1}=27^\circ\text{C},\;V_{1}=0{,}5\:\text{L},
que é comprimido quase-estaticamente até V_{2}=0{,}1\:\text{L}.
Precisamos determinar, para três processos (isotérmico, politrópico com n=1{,}2 e adiabático com k=1{,}4),
(a) as pressões e temperaturas finais;
(b) o trabalho realizado sobre o ar (em kJ);
(c) esboçar os três processos no diagrama p V e comentar as diferenças de trabalho;
(d) indicar qual processo seria mais econômico num compressor real e como aproximá-lo na prática.

Passo 2

Primeiro convertemos dados para unidades consistentes e calculamos temperatura inicial em kelvin:
T_{1}=27^\circ\text{C}=27+273=300\:\text{K}.
Também é útil notar que 1\:\text{kPa}\cdot\text{L}=1\:\text{J} e que a razão de volumes é
\frac{V_{1}}{V_{2}}=\frac{0{,}5}{0{,}1}=5.

Passo 3

Processo isotérmico ( T= constante):
  • Pela lei de Boyle–Mariotte,
p_{2}=p_{1}\,\frac{V_{1}}{V_{2}} =100\:\text{kPa}\times5=500\:\text{kPa}.
  • Como é isotérmico, T_{2}=T_{1}=300\:\text{K}.
  • Trabalho realizado sobre o gás (magnitude)
W_{\text{iso}} =\int_{V_{1}}^{V_{2}}p\,dV =p_{1}V_{1}\ln\frac{V_{1}}{V_{2}} =100\:\!\times0{,}5\ln5 =50\ln5\approx80{,}47\:\text{J} =0{,}0805\:\text{kJ}.

Passo 4

Processo politrópico pV^{n}= constante, n=1{,}2:
  • Pressão final
p_{2} =p_{1}\Bigl(\frac{V_{1}}{V_{2}}\Bigr)^{n} =100\,(5)^{1{,}2} \approx100\times6{,}896 =689{,}6\:\text{kPa}.
  • Temperatura final (pela lei geral dos gases T\propto pV)
T_{2} =T_{1}\Bigl(\frac{V_{1}}{V_{2}}\Bigr)^{\,n-1} =300\,(5)^{0{,}2} \approx300\times1{,}3797 =413{,}9\:\text{K}.
  • Trabalho realizado (magnitude)
W_{\text{poly}} =\int_{V_{1}}^{V_{2}}p\,dV =\frac{p_{2}V_{2}-p_{1}V_{1}}{1-n} =\frac{689{,}6\cdot0{,}1 - 100\cdot0{,}5}{1-1{,}2} =\frac{68{,}96 - 50}{-0{,}2} =94{,}8\:\text{J} =0{,}0948\:\text{kJ}.

Passo 5

Processo adiabático pV^{k}= constante, k=1{,}4:
  • Pressão final
p_{2} =p_{1}\Bigl(\frac{V_{1}}{V_{2}}\Bigr)^{k} =100\,(5)^{1{,}4} \approx100\times9{,}512 =951{,}2\:\text{kPa}.
  • Temperatura final
T_{2} =T_{1}\Bigl(\frac{V_{1}}{V_{2}}\Bigr)^{\,k-1} =300\,(5)^{0{,}4} \approx300\times1{,}903 =570{,}9\:\text{K}.
  • Trabalho realizado (magnitude)
W_{\text{ad}} =\frac{p_{2}V_{2}-p_{1}V_{1}}{1-k} =\frac{951{,}2\cdot0{,}1 - 100\cdot0{,}5}{1-1{,}4} =\frac{95{,}12 - 50}{-0{,}4} =112{,}8\:\text{J} =0{,}1128\:\text{kJ}.

Passo 6

Esboço qualitativo no diagrama p V:
  • Curve isotérmica é a menos inclinada;
  • Politrópica n=1{,}2 é intermediária;
  • Adiabática k=1{,}4 é a mais íngreme.
    A área sob cada curva (trabalho) cresce na ordem isotérmico < politrópico < adiabático, pois à medida que a compressão é mais rápida (menos troca de calor), a pressão aumenta mais rápido e o trabalho de compressão é maior.

Passo 7

Para um compressor real, queremos minimizar o trabalho de compressão: isso ocorre no processo isotérmico (menor área sob p V).
Para aproximar o isotérmico na prática usa-se:
  • compressão em múltiplos estágios com resfriamento intermediário;
  • trocadores de calor eficientes (intercoolers) para retirar calor e manter a temperatura quase constante;
  • taxas de compressão mais lentas e isolamento adequado para permitir transferência de calor ao meio externo.

Resposta

(a) Pressões e temperaturas finais:
  • Isotérmico: p_{2}=500\:\text{kPa},\;T_{2}=300\:\text{K}.
  • Politrópico n=1{,}2: p_{2}=689{,}6\:\text{kPa},\;T_{2}=413{,}9\:\text{K}.
  • Adiabático k=1{,}4: p_{2}=951{,}2\:\text{kPa},\;T_{2}=570{,}9\:\text{K}. (b) Trabalho realizado sobre o ar (em kJ):
  • Isotérmico: W=0{,}0805\:\text{kJ}.
  • Politrópico: W=0{,}0948\:\text{kJ}.
  • Adiabático: W=0{,}1128\:\text{kJ}. (c) No diagrama p V, a curva isotérmica é a mais “suave” (menor área), a politrópica fica no meio e a adiabática é a mais “íngreme” (maior área). O trabalho aumenta pois, sem troca de calor, a pressão cresce mais rápido durante a compressão.
(d) O processo mais econômico é o isotérmico (menor trabalho). Para aproximá-lo num compressor real utiliza-se compressores em estágios com intercoolers, controle de velocidade e trocadores de calor eficientes para manter a temperatura praticamente constante durante cada estágio de compressão.

Exercícios relacionados