Um gás ideal poliatômico possui Cv=5 R e está inicialmente a 47^circ C. Quando este gás sofre uma expansăo adiabática, seu volume atinge duas vezes o volume inicial. Qual será a nova temperatura de equilibrio?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um gás ideal poliatômico com a capacidade calorífica a volume constante $ C_v = 5R $. Inicialmente, esse gás está a $ 47^{\circ} \mathrm{C} $. Ele passa por uma expansão adiabática, ou seja, sem troca de calor com o ambiente, e o volume dobra. Nosso objetivo aqui é encontrar a nova temperatura de equilíbrio desse gás após a expansão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma expansão adiabática. Em termos simples, é quando o gás se expande ou comprime sem ganhar ou perder calor. Para esse processo, usamos a relação:
TV^gamma - 1 = constante
Onde:
  • $ T $ é a temperatura.
  • $ V $ é o volume.
  • $ \gamma $ (gamma) é a razão entre $ C_p $ e $ C_v $.

Passo 3

Precisamos encontrar o valor de $ \gamma $. Sabemos que:
gamma
Então, substituindo $ C_v = 5R $:
Cp = Cv + R
Agora, calculamos $ \gamma $:
Cv = 5R

Passo 4

Como o volume final $ V_f $ é o dobro do volume inicial $ V_i $, podemos escrever:
Vf
Aplicando a relação da expansão adiabática:
Vi
Substituindo $ V_f = 2V_i $:
Vf = 2Vi
Simplificando os volumes:
Ti Vi^gamma - 1 = Tf Vf^gamma - 1

Passo 5

Isolando $ T_f $:
Tf
Sabemos que $ \gamma - 1 = 0,2 $, então:
Tf = Ti2^gamma - 1
Calculando $ 2^{0,2} $:
gamma - 1 = 0,2

Passo 6

Convertendo a temperatura inicial para Kelvin:
Ti = 47^circ C + 273 = 320 , K
Agora, calculamos $ T_f $:
Tf
Convertendo de volta para Celsius:
Tf = 3201,1487 approx 278,6 , K

Resposta

A nova temperatura de equilíbrio é aproximadamente $ 5,6^{\circ} \mathrm{C} $.

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