Um gás ideal poliatômico possui
e está inicialmente a
. Quando este gás sofre uma expansăo adiabática, seu volume atinge duas vezes o volume inicial. Qual será a nova temperatura de equilibrio?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um gás ideal poliatômico com a capacidade calorífica a volume constante $ C_v = 5R $. Inicialmente, esse gás está a $ 47^{\circ} \mathrm{C} $. Ele passa por uma expansão adiabática, ou seja, sem troca de calor com o ambiente, e o volume dobra. Nosso objetivo aqui é encontrar a nova temperatura de equilíbrio desse gás após a expansão.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma expansão adiabática. Em termos simples, é quando o gás se expande ou comprime sem ganhar ou perder calor. Para esse processo, usamos a relação:
Onde:
- $ T $ é a temperatura.
- $ V $ é o volume.
- $ \gamma $ (gamma) é a razão entre $ C_p $ e $ C_v $.
Passo 3
Precisamos encontrar o valor de $ \gamma $. Sabemos que:
Então, substituindo $ C_v = 5R $:
Agora, calculamos $ \gamma $:
Passo 4
Como o volume final $ V_f $ é o dobro do volume inicial $ V_i $, podemos escrever:
Aplicando a relação da expansão adiabática:
Substituindo $ V_f = 2V_i $:
Simplificando os volumes:
Passo 5
Isolando $ T_f $:
Sabemos que $ \gamma - 1 = 0,2 $, então:
Calculando $ 2^{0,2} $:
Passo 6
Convertendo a temperatura inicial para Kelvin:
Agora, calculamos $ T_f $:
Convertendo de volta para Celsius:
Resposta
A nova temperatura de equilíbrio é aproximadamente $ 5,6^{\circ} \mathrm{C} $.