A velocidade do som num gás é dada por
. Considere a propagação do som como um processo adiabático e calcule essa velocidade no ar a 1 atm , nas temperaturas do
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta nos dá a fórmula da velocidade do som num gás: $ c = \sqrt{\frac{dP}{d\rho}} $. A gente precisa calcular essa velocidade no ar a 1 atm de pressão, para várias temperaturas: 0°C, 25°C, 50°C, 75°C e 100°C. Para isso, vamos usar conceitos de termodinâmica, especificamente processos adiabáticos, e a equação dos gases ideais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um processo adiabático. Em processos adiabáticos, não há troca de calor com o ambiente. Para gases ideais, isso nos leva à relação:
Aqui, $ \gamma $ é a razão dos calores específicos $ C_p/C_v $. Para o ar, $ \gamma $ é aproximadamente 1,4.
Passo 3
A fórmula da velocidade do som que foi dada é:
Em um processo adiabático, sabemos que:
Então, substituindo isso na fórmula da velocidade do som, temos:
Passo 4
Agora, vamos usar a equação dos gases ideais para relacionar pressão $ P $, densidade $ \rho $ e temperatura $ T $:
Onde $ R $ é a constante específica dos gases para o ar, que é aproximadamente 287 J/(kg·K).
Passo 5
Substituindo $ \rho $ da equação dos gases ideais na fórmula da velocidade do som:
Agora, ficou fácil calcular a velocidade do som apenas conhecendo a temperatura $ T $.
Passo 6
Vamos resumir a fórmula final que vamos usar:
Com $ \gamma = 1,4 $, $ R = 287 , J/(kg·K) $, e $ T $ deve estar em Kelvin. Então, precisamos converter as temperaturas de Celsius para Kelvin usando $ T(K) = T(°C) + 273,15 $.
Passo 7
Agora, vamos calcular a velocidade do som para cada temperatura dada:
-
0°C:
-
25°C:
-
50°C:
-
75°C:
-
100°C:
Passo 8
Vamos calcular cada uma dessas expressões:
-
0°C:
-
25°C:
-
50°C:
-
75°C:
-
100°C:
Resposta
A velocidade do som no ar a 1 atm de pressão, nas temperaturas solicitadas, é aproximadamente:
- 0°C: 331,3 m/s
- 25°C: 346,4 m/s
- 50°C: 360,7 m/s
- 75°C: 374,0 m/s
- 100°C: 386,4 m/s