A velocidade do som num gás é dada por c=(d Pd rho)^1 / 2. Considere a propagação do som como um processo adiabático e calcule essa velocidade no ar a 1 atm , nas temperaturas do 0^circ C, 25^circ C, 50^circ C, 75^circ C e 100^circ C.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta nos dá a fórmula da velocidade do som num gás: $ c = \sqrt{\frac{dP}{d\rho}} $. A gente precisa calcular essa velocidade no ar a 1 atm de pressão, para várias temperaturas: 0°C, 25°C, 50°C, 75°C e 100°C. Para isso, vamos usar conceitos de termodinâmica, especificamente processos adiabáticos, e a equação dos gases ideais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um processo adiabático. Em processos adiabáticos, não há troca de calor com o ambiente. Para gases ideais, isso nos leva à relação:
P rho^-gamma = constante
Aqui, $ \gamma $ é a razão dos calores específicos $ C_p/C_v $. Para o ar, $ \gamma $ é aproximadamente 1,4.

Passo 3

A fórmula da velocidade do som que foi dada é:
c = raizdPdrho
Em um processo adiabático, sabemos que:
dPdrho = gamma Prho
Então, substituindo isso na fórmula da velocidade do som, temos:
c = raizgamma Prho

Passo 4

Agora, vamos usar a equação dos gases ideais para relacionar pressão $ P $, densidade $ \rho $ e temperatura $ T $:
P
Onde $ R $ é a constante específica dos gases para o ar, que é aproximadamente 287 J/(kg·K).

Passo 5

Substituindo $ \rho $ da equação dos gases ideais na fórmula da velocidade do som:
rho
Agora, ficou fácil calcular a velocidade do som apenas conhecendo a temperatura $ T $.

Passo 6

Vamos resumir a fórmula final que vamos usar:
c = raizgamma R T
Com $ \gamma = 1,4 $, $ R = 287 , J/(kg·K) $, e $ T $ deve estar em Kelvin. Então, precisamos converter as temperaturas de Celsius para Kelvin usando $ T(K) = T(°C) + 273,15 $.

Passo 7

Agora, vamos calcular a velocidade do som para cada temperatura dada:
  1. 0°C:
    T = 0 + 273,15 = 273,15 , K
    c = raiz1,4 times 287 times 273,15
  2. 25°C:
    T = 25 + 273,15 = 298,15 , K
    c = raiz1,4 times 287 times 298,15
  3. 50°C:
    T = 50 + 273,15 = 323,15 , K
    c = raiz1,4 times 287 times 323,15
  4. 75°C:
    T = 75 + 273,15 = 348,15 , K
    c = raiz1,4 times 287 times 348,15
  5. 100°C:
    T = 100 + 273,15 = 373,15 , K
    c = raiz1,4 times 287 times 373,15

Passo 8

Vamos calcular cada uma dessas expressões:
  1. 0°C:
    c = raiz1,4 times 287 times 273,15 approx raiz1,4 times 287 times 273,15 approx 331,3 , m/s
  2. 25°C:
    c = raiz1,4 times 287 times 298,15 approx 346,4 , m/s
  3. 50°C:
    c = raiz1,4 times 287 times 323,15 approx 360,7 , m/s
  4. 75°C:
    c = raiz1,4 times 287 times 348,15 approx 374,0 , m/s
  5. 100°C:
    c = raiz1,4 times 287 times 373,15 approx 386,4 , m/s

Resposta

A velocidade do som no ar a 1 atm de pressão, nas temperaturas solicitadas, é aproximadamente:
  • 0°C: 331,3 m/s
  • 25°C: 346,4 m/s
  • 50°C: 360,7 m/s
  • 75°C: 374,0 m/s
  • 100°C: 386,4 m/s

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