Obtenha a compressibilidade (coeficiente de compressão) adiabática para um gás ideal sofrendo um processo adiabático.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a compressibilidade adiabática, que é basicamente um coeficiente que mostra como o volume de um gás ideal muda quando aplicamos uma pressão, sem trocar calor com o ambiente (processo adiabático). Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de termodinâmica, mais especificamente das leis dos gases ideais e processos adiabáticos.

Passo 2

Primeiro, lembramos que para um gás ideal passando por um processo adiabático, a relação entre pressão § e volume (V) é dada por:
P V^gamma = constante
Aqui, gamma é a razão entre os calores específicos a pressão constante ( Cp) e a volume constante ( Cv):
gamma = CpCv

Passo 3

A compressibilidade adiabática ( kappas) é definida como:
kappas = -1V ( partial Vpartial P )S
Isso quer dizer que precisamos derivar o volume em relação à pressão, mantendo a entropia (S) constante, que é justamente o que acontece em um processo adiabático.

Passo 4

Vamos manipular a equação adiabática para expressar V em função de P:
P V^gamma = constante
V = ( constanteP )^1gamma

Passo 5

Agora, vamos derivar V em relação a P:
partial Vpartial P = partialpartial P ( constante^1/gammaP^1/gamma )
Usando a regra da potência:
partial Vpartial P = -1gamma cdot constante^1/gammaP^1/gamma + 1
Mas sabemos que constante^1/gamma = V, então:
partial Vpartial P = -Vgamma P

Passo 6

Substituindo essa derivada na definição da compressibilidade adiabática:
kappas = -1V ( -Vgamma P )
Os sinais negativos se cancelam e o V também:
kappas = 1gamma P

Resposta

A compressibilidade adiabática para um gás ideal é:
kappas = 1gamma P

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