Um gás ideial sobre um processo com o ciclo descrito por duas curvas isobáricas e duas isotérmicas. Mostre que o trabalho total realizado sobre o gás durante o ciclo inteiro é dado por:
Passo 1
Então, a gente tem um gás ideal que passa por um ciclo com duas etapas isobáricas (pressão constante) e duas isotérmicas (temperatura constante). A gente precisa mostrar que o trabalho total feito sobre o gás durante todo o ciclo é dado por:
Para resolver isso, vamos precisar do conceito de trabalho em processos isobáricos e isotérmicos, além da lei dos gases ideais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o trabalho
feito por um gás durante uma expansão ou compressão é dado pela integral da pressão
em relação ao volume
:
Isso vale para qualquer processo onde a pressão pode variar com o volume.
Passo 3
Na etapa isobárica (pressão constante), o trabalho é mais simples de calcular porque a pressão não muda. Se a pressão é constante, podemos tirar
da integral:
Aqui,
é o volume final e
é o volume inicial.
Passo 4
Agora, vamos considerar a etapa isotérmica (temperatura constante). Para um processo isotérmico de um gás ideal, a pressão e o volume estão relacionados pela lei dos gases ideais:
Como a temperatura
é constante, podemos reescrever a pressão como:
Substituindo isso na expressão do trabalho:
Passo 5
No ciclo completo, vamos ter duas etapas isobáricas e duas isotérmicas. O trabalho total será a soma dos trabalhos dessas etapas. Porém, como estamos considerando o trabalho feito sobre o gás, precisamos levar em conta os sinais: expansão do gás corresponde a trabalho realizado pelo gás, e compressão, trabalho sobre o gás.
Passo 6
Considerando o ciclo inteiro e fazendo as contas com os termos positivos e negativos, chegamos à expressão para o trabalho total realizado sobre o gás:
Resposta
O trabalho total realizado sobre o gás durante o ciclo inteiro é: