Um gás monoatômico encontra-se inicialmente a uma pressão de 10 atm e a uma temperatura de 300 K . Obtenha a variação de entropia do gás para
(a) uma redução isotérmica da pressão para 5 atm .

Passo 1

O enunciado diz que temos um gás monoatômico inicialmente à pressão p_{1}=10 atm e temperatura constante T=300 K. Queremos a variação de entropia \Delta S quando a pressão cai isotermicamente para p_{2}=5 atm. O conteúdo usado será a definição de entropia para processo reversível e a equação de estado do gás ideal.

Passo 2

Para um processo isotérmico reversível em gás ideal, a variação de entropia é
\Delta S = \int_{1}^{2} \frac{\delta Q_{\text{rev}}}{T}.
Como em isotermia dU=0, temos \delta Q_{\text{rev}} = p\,dV. Usando a equação de estado pV=nRT, obtemos
\Delta S = \frac{1}{T}\int_{V_{1}}^{V_{2}} p\,dV = \frac{1}{T}\int_{V_{1}}^{V_{2}} \frac{nRT}{V}\,dV = nR \int_{V_{1}}^{V_{2}} \frac{dV}{V}.

Passo 3

Calculando o logaritmo,
\Delta S = nR \ln\!\bigl(\tfrac{V_{2}}{V_{1}}\bigr).
Como o processo é isotérmico, p_{1}V_{1}=p_{2}V_{2}, logo \frac{V_{2}}{V_{1}}=\frac{p_{1}}{p_{2}}. Substituindo,
\Delta S = nR \ln\!\bigl(\tfrac{p_{1}}{p_{2}}\bigr).

Passo 4

Agora inserimos p_{1}=10 atm e p_{2}=5 atm:
\Delta S = nR \ln\!\bigl(\tfrac{10}{5}\bigr) = nR \ln(2).

Passo 5

Para uma mole ( n=1), usando R=8{,}314 J/(mo l\cdot K),
\Delta S = (1)(8{,}314)\ln(2) \approx 8{,}314\times 0{,}693 \approx 5{,}76\text{ J/K}.

Resposta

\Delta S = nR\ln(2)\quad\text{(por mol, aproximadamente }5{,}76\text{ J/K).}

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