Para um sistema com a equação fundamental
\frac{S^{\prime}}{R}=\frac{U^{\prime} V^{\prime}}{N}-\frac{N^{3}}{U^{\prime} V^{\prime}}
(a) determine as equações de estado;
(b) mostre que T é positiva.

Passo 1

O enunciado fornece a equação fundamental no potencial entropia (representação entropia) em variáveis adimensionais \,S', U', V', N:
\frac{S'}{R} \;=\;\frac{U'\,V'}{N}\;-\;\frac{N^{3}}{U'\,V'}\,.
Queremos as equações de estado, ou seja,
\frac{1}{T}=\Bigl(\frac{\partial S}{\partial U}\Bigr)_{V,N},\quad \frac{P}{T}=\Bigl(\frac{\partial S}{\partial V}\Bigr)_{U,N},\quad -\frac{\mu}{T}=\Bigl(\frac{\partial S}{\partial N}\Bigr)_{U,V},
mas tudo ocorre sobre a função \,S'/R em relação a U',V',N.

Passo 2

Calcular \displaystyle\frac{1}{T}=\frac{\partial}{\partial U'}\bigl(S'/R\bigr) a V',N constantes.
Como
\frac{S'}{R}=\frac{U'V'}{N}-\frac{N^3}{U'V'}\,,
temos
\frac{\partial}{\partial U'}\Bigl(\frac{S'}{R}\Bigr) =\frac{V'}{N} -\bigl(-1\bigr)\,\frac{N^3}{U'^{2}V'} =\frac{V'}{N} \;+\;\frac{N^{3}}{U'^{2}V'}.
Logo
\boxed{\frac{1}{T}=\frac{V'}{N} \;+\;\frac{N^{3}}{U'^{2}V'}}.

Passo 3

Calcular \displaystyle\frac{P}{T}=\frac{\partial}{\partial V'}\bigl(S'/R\bigr) a U',N constantes.
Diferenciando
\frac{S'}{R}=\frac{U'V'}{N}-\frac{N^3}{U'V'},
em relação a V',
\frac{\partial}{\partial V'}\Bigl(\frac{S'}{R}\Bigr) =\frac{U'}{N} -\bigl(-1\bigr)\,\frac{N^3}{U'V'^{2}} =\frac{U'}{N} \;+\;\frac{N^{3}}{U'\,V'^{2}}.
Logo
\boxed{\frac{P}{T}=\frac{U'}{N} \;+\;\frac{N^{3}}{U'\,V'^{2}}}.

Passo 4

Calcular \displaystyle -\frac{\mu}{T}=\frac{\partial}{\partial N}\bigl(S'/R\bigr) a U',V' constantes.
Diferenciando
\frac{S'}{R}=\frac{U'V'}{N}-\frac{N^3}{U'V'},
em relação a N,
\frac{\partial}{\partial N}\Bigl(\frac{S'}{R}\Bigr) =-\frac{U'V'}{N^{2}} -\frac{3\,N^{2}}{U'\,V'}.
Como -\mu/T=\partial(S'/R)/\partial N, obtemos
\boxed{\frac{\mu}{T}=\frac{U'\,V'}{N^{2}} \;+\;\frac{3\,N^{2}}{U'\,V'}}.

Passo 5

Para ver que T>0, basta notar que em qualquer sistema físico U'>0, V'>0, N>0. Então
\frac{1}{T}=\frac{V'}{N}+\frac{N^3}{U'^{2}V'}>0
implica imediatamente T>0.

Resposta

\displaystyle\frac{1}{T}=\frac{V'}{N}+\frac{N^{3}}{U'^{2}V'}
\displaystyle\frac{P}{T}=\frac{U'}{N}+\frac{N^{3}}{U'\,V'^{2}}
\displaystyle\frac{\mu}{T}=\frac{U'\,V'}{N^{2}}+\frac{3\,N^{2}}{U'\,V'}
e fica claro que T>0, pois 1/T>0.

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