Como um gás pode se expandir sem realizar trabalho? Como deve ser a expansão para que o trabalho seja máximo?

Passo 1

O enunciado pergunta em que situação um gás se expande sem realizar trabalho e qual expansão entrega trabalho máximo. O conteúdo é trabalho de expansão em termodinâmica, onde usamos a definição do trabalho de fronteira
W = \int_{V_i}^{V_f} P_{\text{ext}}\,dV
para analisar diferentes processos.

Passo 2

Para o trabalho ser zero basta que a pressão externa seja nula durante toda a expansão. Se P_{\text{ext}}=0, então
W = \int_{V_i}^{V_f} 0\;dV = 0.
Isso acontece na chamada expansão livre (ou expansão em vácuo), onde o gás “se espalha” sem enfrentar resistência.

Passo 3

Para obter o máximo de trabalho mecânico, precisamos maximizar a integral
W = \int_{V_i}^{V_f} P_{\text{ext}}\,dV
sujeita ao fato de que P_{\text{ext}} não pode ultrapassar a pressão interna P_{\text{int}}. O máximo ocorre quando o processo é reversível e quase-estático, isto é,
P_{\text{ext}} = P_{\text{int}}
em cada instante. Nesse caso
W_{\text{max}} = \int_{V_i}^{V_f} P_{\text{int}}\,dV.

Passo 4

No caso de um gás ideal submetido a isoterma ( T= constante), temos P_{\text{int}} = \dfrac{nRT}{V}, e assim
W_{\text{max}} = \int_{V_i}^{V_f} \frac{nRT}{V}\,dV = nRT\ln\!\bigl(\tfrac{V_f}{V_i}\bigr).
Esse é o maior trabalho de expansão que o gás pode realizar entre os volumes V_i e V_f à temperatura T.

Resposta

O gás expande sem trabalho na expansão livre ( P_{\text{ext}}=0). O trabalho é máximo num processo reversível (quase-estático), em particular na isoterma reversível para gás ideal, onde
W_{\text{max}} = nRT\ln\!\bigl(\tfrac{V_f}{V_i}\bigr).

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