Da geometria euclidiana sabe-se que três pontos não colineares no espaço determinam um único plano. Encontre a equação vetorial e a cartesiana do plano que contém os pontos (1,1,1), (2,0,0) e (1,1,0).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três pontos no espaço: , e . Sabemos que três pontos que não estão alinhados determinam um único plano na geometria euclidiana. Nosso objetivo é encontrar a equação vetorial e a equação cartesiana desse plano. Para isso, vamos precisar usar conceitos de vetores e equações de planos.

Passo 2

Vamos começar encontrando dois vetores que estão no plano. Para isso, escolhemos dois pares de pontos e calculamos a diferença entre eles.
Primeiro, vamos encontrar o vetor que vai de para :
Agora, encontramos o vetor que vai de para :

Passo 3

Com os vetores e encontrados, precisamos encontrar o vetor normal ao plano, que é perpendicular a ambos os vetores. Para isso, usamos o produto vetorial desses vetores.
Calculando o produto vetorial :

Passo 4

Agora que temos o vetor normal , podemos escrever a equação vetorial do plano. A equação vetorial de um plano pode ser escrita como:
onde é um ponto no plano, e e são escalares.
Escolhemos , e já temos os vetores e :

Passo 5

Para encontrar a equação cartesiana do plano, usamos a fórmula:
onde são as componentes do vetor normal e é um ponto no plano.
Substituindo e :
Simplificando:

Resposta

A equação vetorial do plano é:
E a equação cartesiana do plano é:

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