Geometria: Em um experimento com probabilidade de sucesso p=0.3, qual é a probabilidade de o primeiro sucesso ocorrer na 4^a tentativa?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um experimento onde a probabilidade de sucesso em cada tentativa é p = 0,3. Queremos descobrir qual é a probabilidade de o primeiro sucesso acontecer exatamente na quarta tentativa. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade geométrica, que trata de eventos que acontecem pela primeira vez em um determinado ensaio.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que para o primeiro sucesso ocorrer na quarta tentativa, as três primeiras tentativas devem ser fracassos e a quarta deve ser um sucesso. Isso porque estamos procurando pelo primeiro sucesso exatamente na quarta vez que tentamos.

Passo 3

Vamos definir a probabilidade de fracasso em cada tentativa. Se a probabilidade de sucesso é p = 0,3, então a probabilidade de fracasso é q = 1 - p = 0,7.

Passo 4

Agora, para que o primeiro sucesso ocorra na quarta tentativa, calculamos a probabilidade de três fracassos seguidos e um sucesso. Isso é dado pela fórmula:
P = q^k-1 times p
Onde:
  • q é a probabilidade de fracasso,
  • k é a tentativa na qual ocorre o primeiro sucesso,
  • p é a probabilidade de sucesso.

Passo 5

Substituindo os valores na fórmula:
  • q = 0,7
  • k = 4
  • p = 0,3
Então:
P = 0,7^4-1 times 0,3 = 0,7^3 times 0,3

Passo 6

Vamos calcular 0,7^3:
0,7 times 0,7 times 0,7 = 0,343
Multiplicando pelo 0,3:
0,343 times 0,3 = 0,1029

Resposta

A probabilidade de o primeiro sucesso ocorrer na quarta tentativa é 0,1029.

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