Um gerador de 25 \mathrm{kV}, 50 \mathrm{MVA}, tem reatância interna igual a 0,10 \mathrm{pu}. O mesmo é conectado a um sistema elétrico de potência, cujas grandezas de bases, no ponto
de conexão, são 50 kV e 100 MVA.
O valor da reatância interna do gerador, em pu, na base do sistema, é?

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dados fornecidos:
    • Gerador com tensão base própria \;V_{g\_base}=25\\ \mathrm{kV}\; e potência base própria \;S_{g\_base}=50\\ \mathrm{MVA}\;.
    • Reatância interna do gerador expressa em pu na base do gerador: \;X_{g\_pu\_orig}=0,10\\ \mathrm{pu}\;.
    • Sistema (ponto de conexão) tem bases: \;V_{s\_base}=50\\ \mathrm{kV}\; e \;S_{s\_base}=100\\ \mathrm{MVA}\;.
  • O que é pedido:
    • Encontrar o valor da reatância interna do gerador em pu na base do sistema, ou seja \;X_{g\_pu\_novo} na base \;V_{s\_base},\\ S_{s\_base}.

Passo 2

Conceito importante: o que é pu e a impedância de base.
  • A representação em per unit (pu) mede um valor como fração da sua “base”. Para impedâncias, a impedância base é dada por
Z_{\text{base}}=\frac{V_{\text{base}}^{2}}{S_{\text{base}}},
onde \;V_{\text{base}} é a tensão base (em volts) e \;S_{\text{base}} é a potência base (em VA).
  • A relação entre a impedância real ( Z_{\text{real}}) e a impedância em pu é
Z_{\text{real}}=Z_{\text{pu}}\cdot Z_{\text{base}}.
Isso significa que, para converter um valor em pu de uma base para outra, é preciso usar a razão entre as impedâncias de base.

Passo 3

Derivação da fórmula de conversão de pu entre bases diferentes.
  • Seja \;X_{pu}^{\text{(orig)}} a reatância em pu na base original e \;X_{pu}^{\text{(novo)}} o que queremos na nova base. Então
X_{\text{real}} = X_{pu}^{\text{(orig)}}\cdot Z_{\text{base}}^{\text{(orig)}}.
  • Queremos expressar X_{\text{real}} na nova base:
X_{pu}^{\text{(novo)}}=\frac{X_{\text{real}}}{Z_{\text{base}}^{\text{(novo)}}} = X_{pu}^{\text{(orig)}}\cdot\frac{Z_{\text{base}}^{\text{(orig)}}}{Z_{\text{base}}^{\text{(novo)}}}.
  • Substituindo Z_{\text{base}}=\dfrac{V_{\text{base}}^{2}}{S_{\text{base}}} obtemos a fórmula prática:
X_{pu}^{\text{(novo)}} = X_{pu}^{\text{(orig)}}\cdot \frac{V_{\text{base}}^{\text{(orig)}\,2}/S_{\text{base}}^{\text{(orig)}}} {V_{\text{base}}^{\text{(novo)}\,2}/S_{\text{base}}^{\text{(novo)}}} = X_{pu}^{\text{(orig)}}\cdot\frac{S_{\text{base}}^{\text{(novo)}}}{S_{\text{base}}^{\text{(orig)}}}\cdot\left(\frac{V_{\text{base}}^{\text{(orig)}}}{V_{\text{base}}^{\text{(novo)}}}\right)^{2}.
  • Essa é a fórmula que vamos aplicar. Vou explicar cada fator:
    • \dfrac{S_{\text{novo}}}{S_{\text{orig}}} ajusta pela mudança de base de potência;
    • \left(\dfrac{V_{\text{orig}}}{V_{\text{novo}}}\right)^{2} ajusta pela mudança de base de tensão (porque Z_{\text{base}} depende de V^{2}).

Passo 4

Aplicando a fórmula aos dados do enunciado.
  • Substituindo \;X_{pu}^{\text{(orig)}}=0,10, \;S_{\text{orig}}=50\\ \mathrm{MVA}, \;S_{\text{novo}}=100\\ \mathrm{MVA}, \;V_{\text{orig}}=25\\ \mathrm{kV}, \;V_{\text{novo}}=50\\ \mathrm{kV} na fórmula:
X_{g\_pu\_novo} = 0,10\cdot\frac{100}{50}\cdot\left(\frac{25}{50}\right)^{2}.

Passo 5

Cálculo passo a passo das razões numéricas.
  • Primeiro \dfrac{100}{50}=2.
  • Depois \dfrac{25}{50}=\tfrac{1}{2}=0{,}5, e o quadrado é (0{,}5)^{2}=0{,}25.
  • Multiplicando: 2\cdot 0{,}25 = 0{,}5.
  • Finalmente:
X_{g\_pu\_novo} = 0,10\cdot 0{,}5 = 0{,}05.

Passo 6

Interpretação física curta e dica para prova.
  • O resultado \;0,05\\ \mathrm{pu} significa que, na base do sistema (50 kV, 100 MVA), a reatância interna do gerador é menor em pu do que na base do próprio gerador porque a base de potência dobrou e a base de tensão também dobrou (o efeito combinado reduz o valor em pu).
  • Dica rápida: memorize a fórmula de conversão ou derive mentalmente via Z_{real}=Z_{pu}\,V_{base}^{2}/S_{base}; em prova isso evita erro de troca de bases.

Resposta

0,05\\ \mathrm{pu}

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